Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
в работе [5.17]. На рис. 5.25 схематически изображена схема описанного
алгоритма нахождения периодических решений, который далее мы будем
называть алгоритмом DERPER.
Отметим, что в процессе продолжения для каждого найденного периодического
решения легко вычисляются его мультипликаторы. Действительно, элементы
матрицы монодромии В = = (ри(1)) получаются попутно (см. формулы
(5.8.12), (5.8.17)), после чего остается лишь найти собственные значения
матрицы В.
Трудности с нахождением параметрической зависимости возникают иногда в
окрестности точек бифуркации (например, точки бифуркации с потерей
симметрии), однако в большинстве случаев описываемый алгоритм отслеживает
(гладкое) продолжение исходной ветви решений. Алгоритм беспрепятственно
проходит точки рождения инвариантного тора и точки ответвления решений с
двукратным периодом и прослеживает продолжение исходной ветви решений; в
случае точки поворота (отвечающей бифуркации "+1" (слияние двух
периодических решений).-Ред.) алгоритм, пройдя эту точку, переходит на
другую ветвь. Окончание ветви решений в точке бифуркации Андронова-Хопфа
и в точке, где периодическое решение превращается в гомоклиническую
траекторию, также контролируется этим алгоритмом (см. рис. 5.25).
Проиллюстрируем использование алгоритма DERPER на нескольких примерах.
220
Глава 5
Модель Лоренца (задача 10, см. (5.5.1)) обладает симметрией в следующем
смысле. Введем отображение g: R3 -*• R3
Рис. 5.25. Схема применения алгоритма DERPER.
(симметрию относительно оси z) посредством соотношения g(x,y,z) = (-x,-
y,z). Если Р (t) = (x{t) у У (0, z {t)) некото-
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 221
рое решение уравнений (5.5.1) с траекторией у, то Р(0 = = (-x(t),-
y(t),z(t))- также решение (с траекторией g(y))-В частности, -если P{t)-
периодическое решение, то Р (/), очевидно, тоже. При этом могут иметь
место два случая:
1- g(Y) = Y" т- е- решения Р и Р имеют одну и ту же траекторию, которая
симметрична относительно оси z; при этом р (/) = р (/ Т/2). Такие
решения мы будем обозначать символом S; примером служит решение,
представленное на рис. 5.26Ь.
2- g(Y)^=? и> следовательно, функции Р и Р задают два существенно
различных периодических решения, траектории которых у и g(y) взаимно
симметричны относительно оси z (такие решения мы будем обозначать
символом А). Примером может служить решение на рис. 5.26с.
Другие модели также обладают симметрией, в соответствии с которой с
данным решением сосуществуют несколько других симметричных решений.
Опишем; теперь зависимость периодических решений от параметра г для
задачи 10, показанную на рис. 5.26а.
Из точки бифуркации Андронова-Хопфа субкрнтически отделяется ветвь
неустойчивых периодических решений. С учетом упомянутой симметрии таких
точек бифуркации оказывается две1* (на рис. 5.26а им отвечает одна
точка), и из них ответвляются две ветви периодических решений, траектории
которых взаимно симметричны по отношению к оси z. При уменьшении значения
параметра г уменьшается расстояние периодических траекторий до состояния
равновесия х = у - г = 0. Эти периодические траектории сходятся к двум
гомоклиническим траекториям, которые входят и выходят из состояния
равновесия х = у = z = 0 (мы обозначим их как yi и у2). Некоторые ветви
периодических решений сходятся при изменении г к множеству,
представляющему собой объединение этих гомоклинических траекторий, т. е.
к множеству yiUvz- Амплитуда изменения переменной у на этом множестве
вдвое больше, чем на одной гомоклинической траектории. На рис. 5.26а это
отображено в виде скачка кривой.
На этом же рисунке в диапазоне параметра г е (50,250) показано несколько
точек поворота (где встречаются две ветви периодических решений). Вблизи
каждой точки поворота существует узкий интервал изменения параметра г, в
котором периодическое решение оказывается устойчивым. Отметим, что рис.
5.26 не показывает все существующие ветви периодических
о Имеются в виду точки на такой диаграмме периодических решений, которая
"различает" два взаимно симметричных решения. - Прим. ред.
222
Глава 5
решений [4.40]. Описание того, как периодическое решение теряет
устойчивость, мы дадим в следующем пункте.
HBBt I I I________I________I -I_____________I // I
0 50 100 150 200 250 300 350 500
Рис. 5.26. Периодические решения задачи 10, а = 16, 6 = 4. а) Диаграмма
периодических решений. Ау - амплитуда 2-й составляющей вектора решения,
НВВ - точка бифуркации Хопфа, НО - гомоклиническая орбита, сплошная линия
- устойчивое решение, штриховые линии - неустойчивые решения, • - точка
бифуркации с потерей симметрии. Ь) Симметричное устойчивое решение для
значения г = 137; Т = 1,48629, Ау = 154. Показана проекция на плоскость х
- у, ч = (-0,02624, -36,5315, 135,279), + стационарное решение. с)
Несимметричное устойчивое решение для значения г = 87,487; Т= 1,54563; Ау
= 101. Показана проекция на плоскость х - у, т)- = (7,7979, -26,7059,
