Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
относительно п+1 неизвестных тц, . ..,т\п,Т. Так же, как и в случае
разностных методов, нужно задать произвольно значение одной из
неизвестных. Выберем в качестве такой неизвестной переменную т)* и
положим т\к = fjft. Этот выбор будет успешным лишь в случае, когда
"лежит" на искомой зависимости хДг), т. е. когда при некотором ге[0, 1]
выполнено соотношение rjft = xft(z) (см. рис. 5.24). Для решения системы
нелинейных уравнений (5.8.10) относительно неизвестных тц, ... ...,
т)й_1, T)fe+i, ..., цп,Т воспользуемся методом Ньютона. При этом
соответствующая матрица Якоби будет включать в себя
214
Глава 5
элементы dFi/dц,- (/ ф k) и dFi/dT. Эти элементы можно вычислить либо с
помощью разностных формул, когда мы решаем задачу Коши (т. е. вычисляем
Ft) для одной итерации в; общей сложности я+ 1 раз (см. § 5.1), либо с
помощью соответствующих вариационных переменных и системы
дифференциальных уравнений в вариациях. Покажем, как это можно сделать в
по-
следнем случае. Для этого, рассматривая х как функцию tj, введем
обозначения
дх.
РчМ = ~д^7' l' i=l' 2- (5.8.11)
Дифференцируя уравнение (5.8.4) по переменной т]/, находим
dfi
dpt
dz
Г = Т1,фРФ './=1.2 п.
(5.8.12)
S-l
Далее, дифференцируя (5.8.4) по Т, для производных qi = = dXi/dT получаем
dgt
dz
= /< + 7'Е'Й'^ /=1,2,...,я. (5.8.13)
S=1
Начальные условия для этих уравнений в вариациях имеют вид Рч (0) = 6lt,
qt( 0) = 0, (5.8.14)
где бц - символ Кронекера (равный 0 при 1Ф\ и 1 при / = /').
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае
215
Для элементов матрицы Якоби системы (5.8.10) имеют место соотношения
Щ = рц(\)-Ьц, /= 1, 2, (5.8.15)
= = (5.8.16)
Из последней формулы следует, что уравнения (5.8.13) интегрировать не
нужно, поскольку достаточно знать лишь концевое значение х(1).
Заметим, что столбец производных dFi/dr\k матрицы Якобн также оказывается
ненужным, поскольку значение r\k уже зафиксировано. Выбор этого значения
i\k является довольно непростым делом, если только не использовать какую-
либо априорную информацию об искомых периодических решениях (вытекающую,
например, из неких физических соображений).
Если никакой предварительной информации у нас нет, то можно
воспользоваться "поисковым" подходом, описанным в § 5.1, т. е. случайным
выбором начальных приближений (всех Гр, ..., тТ) для метода Ньютона в
сочетании со случайным выбором индекса k. В настоящее время, когда
требуемый объем машинного времени перестает быть ограничивающим фактором,
указанный подход становится, по-видимому, вполне реалистичным.
Пример сходимости метода Ньютона для задачи 10 показан в табл. 5.23. При
этом, хотя начальное приближение выбиралось вблизи устойчивого
периодического решения (ср. четвертое решение в табл. 5.24), метод привел
к неустойчивому периодическому решению ("дважды повторенному"-его
минимальный период вдвое меньше найденного). Это обстоятельство, по-
видимому, вызывается существованием в рассматриваемой области большого
числа периодических решений (см. рис. 5.26). Оно подчеркивает
преимущества продолжения периодических решений (см. п. 5.8.4) по
сравнению с поиском решений для отдельных значений параметра.
Метод стрельбы является эффективным в тех случаях, когда соответствующие
задачи Коши легко интегрируются. Если же функция x(z) сильно зависит от
tj, то задача Коши становится "плохой" и сам метод уже не работает; в
частности, так обстоит дело в случае сильно неустойчивых периодических
решений. При этом в качестве альтернативного метода можно
]) Эти равенства сразу вытекают из исходной записи (5.8.4) (но могут
быть, конечно, выведены и из (5.8.13)).-Прим. ред.
216
Глава 5
Таблица 5.23. Метод стрельбы для нахождения периодического решения задачи
10: а = 16, Ь = 4, г = 197, т)* = -5,5, k - 1. Найденное неустойчивое
решение "составлено" из двух идентичных периодических решений с периодом
Г/2
Итерация 4i Ч; Ча т IIЛ1
0 -5,5 -15,000 132,000 1,70000 З.ЗЕ1
1 -5,5 -13,321 123,905 1,64516 2.3Е1
2 -5,5 -14,179 122,765 1,65020 9.5Е0
3 -5,5 - 12,828 123,703 1,65684 1.8Е0
4 -5,5 - 12,946 123,651 1,65760 4,5Е-2
5 -5,5 -12,953 123,646 1,65765 1,ЗЕ-4
6 -5,5 -12,953 123,646 1,65765
использовать либо разностный метод, либо метод многократной стрельбы (см.
п. 5.8.6).
5.8.3. Устойчивость периодических решений
Исследуем теперь устойчивость уже известного периодического решения,
характеризующегося значениями т),, ..., fj", Т (см. п. 5.8.2).
Орбитальная устойчивость исследуемого периодического решения определяется
собственными числами матрицы монодро-мии (см. (5.8.9) и § 2.3)
в = [-^-]=[^/(1)]. (5.8.17)
При этом вариационные переменные рц{г) (5.8.11) находятся
для значений т) и Т, отвечающих изучаемому периодическому
решению. Напомним, что для нахождения собственных чисел матрицы В можно
использовать методику, описанную в § 5.3. В случае автономной системы
одно собственное число всегда равняется единице (Xi = l). Остальные п-1
собственных чисел Х.2, • • •, А," (которые мы в гл. 2 называли
