Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 688

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 682 683 684 685 686 687 < 688 > 689 690 691 692 693 694 .. 942 >> Следующая

(5.7.29) мы имеем начальные условия (5.7.27).
При этом мы предполагали, что матрица dg/da является регулярной вдоль
соответствующей траектории. Если же она не регулярна, то возникают
трудности в обоих подходах: непрерывное решение и(/) системы (5.7.26)
может не существовать (или быть неединственным). В таких случаях
необходимо оценить полученные результаты с физической точки зрения, а
также проанализировать обоснованность модели (5.7.25), (5.7.26).
Рассмотренный выше случай-самый простой; более сложные случаи
обсуждаются, например, в [5.34].
5.7.5. Интегрирование дифференциальных уравнений с запаздыванием
Дифференциальные уравнения с запаздыванием возникают при рассмотрении
целого ряда математических моделей процессов переноса, теории
автоматического регулирования, а также различного рода биологических
объектов. Дифференциальные уравнения с k различными запаздываниями %\ >
0, ... ..., гм > 0 можно представить в виде
//у
= X (0, x(t - Tj), ..., х (t - xk)). (5.7.30)
Обозначим теперь т = тахт,-. Тогда для интегрирования уравнения (5.7.30)
при t > 0 нам потребуются начальные условия на промежутке fe [-т, 0]: мы
должны знать
х(/) = Ф(0, te=[-x, 0]. (5.7.31)
Итак, в отличие от систем без запаздывания, для которых достаточно знать
вектор начальных условий в один момент времени t, в данном случае для
того, чтобы однозначно определить решение, мы должны его знать на целом
промежутке изменения /. При этом изменение в методе интегрирования
состоит лишь в том, что для вычисления правой части нужно использовать
значения решения в точках t - т/. Эти значения получаются с помощью
интерполяции из таблицы значений (t, х(^)), систематически накапливаемых
в ходе интегрирования. Такая таблица (память) заполняется сначала на
основе знания начальных условий (5.7.31), а затем в процессе
интегрирования постепенно обновляется (слишком старые значения изымаются
из таблицы). Если мы используем метод интегрирования с автоматическим
выбором шага, то указанная таблица оказывается неравномерной. А именно, в
областях изменения t, где х меняется быстрее, таблица оказывается более
плотной, это
5.8. Вычисление периодических решений в автономном случае 209
обеспечивает сохранение точности в процессе интерполяции. Примером
системы с временным запаздыванием служит задача 6, в которой функция
роста задается формулой (Р6-4).
5.8. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ В АВТОНОМНОМ СЛУЧАЕ
Рассмотрим автономную систему п обыкновенных дифференциальных уравнений
•§¦ = *(*. ") (5-8.1)
с одним параметром а (значение которого мы пока будем считать
фиксированным). Периодическое решение х(/) системы
(5.8.1), имеющее период Т, при любом (eR удовлетворяет условию
х (? + Г) = х (?). (5.8.2
Устойчивые периодические решения (т. е. притягивающие, или асимптотически
орбитально устойчивые решения. - Ред.) (см. § 2.3) можно найти
посредством процесса установления, имитируя (численно) динамику системы
(5.8.1) с помощью методов, описанных в § 5.71>. После установления
колебаний нетрудно оценить (найти с помощью интерполяции) и величину
периода Т. Неустойчивое периодическое решение этим способом найти нельзя,
за исключением случаев, когда оно устойчиво при /-"-оо (т. е. тогда,
когда ни один мультипликатор не лежит внутри единичного круга, при п = 2
для неустойчивого периодического решения это всегда выполняется). Такие
решения можно найти, интегрируя уравнение (5.8.1) в отрицательном
направлении по оси времени.
Примером приложения указанного подхода служат периодические решения
задачи 1, представленные в форме фазовых портретов на рис. 5.19. На рис.
5.22 изображены два вложенных один в другой предельных цикла. Внешний из
них является устойчивым и был найден с помощью установления при t-*-oо.
Внутренний цикл неустойчив и был найден процессом установления в
обращенном времени (при t->-оо).
Переходя к общему случаю, преобразуем независимую переменную t следующим
образом:
t = Tz. (5.8.3)
о Разумеется, для этого нужно знать точку, достаточно близкую к искомому
решению. - Прим. ред.
14 М. Холодниок и др
210
Глава 5
Тогда соотношения (5.8.1) и (5.8.2) принимают вид
# = П(х, а), (5.8.4)
х(1) = х(0), (5.8.5)
т. е. решение x(z) имеет период, равный единице (учитывая автономность
системы, значение t в формуле (5.8.2) можно выбрать равным нулю).
Рис. 5.22. Периодические решения задачи 1. Устойчивый (сплошная линия) и
неустойчивый (штриховая линия) предельные циклы. Л = 1, В - 14, у-*" ->-
00, Da = 0,1618, Р = 3, Ос = 0; + устойчивое стационарное решение.
Соотношения (5.8.4), (5.8.5) определяют собой нелинейную краевую задачу
со смешанными граничными условиями (более подробно нелинейные краевые
задачи рассматриваются в § 6.1). Для решения такого рода задач чаще всего
используются разностные методы и метод стрельбы.
5.8.1. Разностные методы
Идея разностных методов заключается в замене производных конечными
разностями на достаточно густой сетке узловых точек Zi - ih, i = 0, 1,
Предыдущая << 1 .. 682 683 684 685 686 687 < 688 > 689 690 691 692 693 694 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed