Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 683

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 677 678 679 680 681 682 < 683 > 684 685 686 687 688 689 .. 942 >> Следующая

изображены лишь кривые комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа), причем
стационарное решение остается единственным во всей плоскости параметров
Dai - Da2. Выделенные точки на бифуркационной диаграмме соответствуют
точкам бифуркации Хопфа, вычисленным в § 5.5 (см. также табл. 5.13). При
этом стационарное решение оказывается устойчивым в областях II и IV и,
наоборот, неустойчивым в областях I и III, в которых, как мы увидим в §
5.8, существуют устойчивые периодические решения (предельные циклы).
На рис. 5.20d изображена бифуркационная диаграмма для задачи 6. Кривую
точек поворота (линию кратности) можно вновь построить с помощью метода
отображения параметра, как это сделано для рис. 5.17. Указанная кривая
ограничивает область возникновения трех стационарных решений; вне этой
области существует одно стационарное решение.
Бифуркационная диаграмма для задачи 4 представлена на рис. 5.20е в
плоскости параметров б - а. В области, ограниченной кривыми вещественных
бифуркаций, существует три решения, вне этой области - одно решение.
Кривые комплексной бифуркации указывают нам на ответвление периодических
решений и изменение характера устойчивости стационарных решений. В
области единственности стационарных решений эти кривые выделяют область
существования устойчивых предельных циклов.
На рис. 5.20f изображена бифуркационная диаграмма для задачи 8 в
плоскости параметров В - D\. Ввиду симметрии системы некоторые кривые
являются фактически сдвоенными, поскольку бифуркация возникает
одновременно у двух взаимно симметричных решений при тех же самых
значениях параметров (сравните с диаграммой решений на рис. 5.6d). Для
каждой области на бифуркационной диаграмме указано общее число
стационарных решений.
13 М. Холодниок и др.
194
Глава 5
0,001 0,01 0,1 1 10 рЮО 1000
Рис. 5.20. Бифуркационные диаграммы для отдельных задач; сплошная линия -
кривая предельных точек, штриховая линия - кривая точек комплексной
бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа). Числа в отдельных областях
указывают число стационарных решений, а) задача 10, b = 4. Ь) Задача 3, р
= 8,4-10~6, g =2, е = 6,6667-10-4, е' = 1,7778-10~5. Точки Р и Q - см.
рис. 5.10 и 5.12. с) Задача 2, у = 1000, В = 12, Pj = Р2 = 2, (c)Cl = = 0Cj
= О, Л = 1. d) Задача 6, es0 = 5, сх0 = 0,005, Sxs = 0,5, Ks - 0,03, ji=
= 0,5. е) Задача 4, у = 3, 0=1,5. vQ = 0, 01. f) Задача 8, N = 2,
уравнения (Р8-2)-(Р8-5), А=2, D2=10Du штрихпунктирная линия - кривая
точек бифуркации Андронова - Хопфа на ветви неустойчивых стационарных
решений, g) Задача у = 20, 0Cj = 0Сг = - 5, Л = 1, В = 10, = 02 = 0,2.
5.7. Методы моделирования динамических систем
195
Более сложная бифуркационная диаграмма имеет место для задачи 2 (рис.
5.20g). Здесь также в каждой области параметрической плоскости Dai - Da2
указано общее число стационарных решений.
В случае более сложных задач основная проблема заключается в том, чтобы
простроить полную бифуркационную диаграмму, т. е. найти ее кривые точек
поворота и точек комплексной бифуркации. Если мы сумеем построить такую
диаграмму, то тем самым получим полную информацию о поведении
стационарных решений системы в зависимости от двух параметров исходной
задачи.
5.7. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Решение x(t) системы обыкновенных дифференциальных уравнений
= *) (5.7.1)
с начальным условием х(0) = х° (за редкими исключениями, когда нам
удается решить уравнение (5.7.1) аналитически) обычно приходится находить
численными методами. За последние 40 лет разработан целый ряд таких
методов, позволяющих строить решения задач Коши для обыкновенных
дифференциальных уравнений, и в настоящее время соответствующие программы
являются частью математического обеспечения практически любой ЭВМ.
Подчеркнем, что некритическое использование этих программ может в
некоторых задачах приводить к неправильным результатам (или вовсе не
приводить к результатам). Это может случиться, в частности, при
интегрировании систем с сильно неустойчивыми траекториями или систем,
содержащих малые параметры.
В этом параграфе будет приведен лишь краткий обзор указанных методов и
рассмотрены некоторые практические аспекты их использования. Читателей,
которых данная проблематика заинтересует более глубоко, мы отсылаем к
обширной библиографии по этому вопросу (см., например, [5.7], [16*],
[18*], [19*]).
5.7.1. Одношаговые методы
Общая особенность численных методов решения задачи Коши (или методов
численного интегрирования) состоит в том, что решение ищется в виде
некоторой дискретно определенной
13*
196
Глава 5
функции, заданной на сетке, состоящей из узлов t0 = 0, h, t2, ... с шагом
hj = tj+1 - tj > 0. Методы интегрирования можно разделить на две группы:
одношаговые и многошаговые.
В одношаговых методах для нахождения приближенного решения в точке t,+\
используется аппроксимация решения лишь в одной предшествующей узловой
точке tj, т. е.
x/+i = х/ + h/Ф (tj, х1, hj). (5.7.2)
Предыдущая << 1 .. 677 678 679 680 681 682 < 683 > 684 685 686 687 688 689 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed