Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
периодических решений.
Построив в параметрической плоскости р - а кривые точек поворота и кривые
точек комплексной бифуркации, мы получаем так называемую бифуркационную
диаграмму. При этом
5.6. Бифуркационная диаграмма
189
плоскость р- а оказывается разделенной на области, в которых число
стационарных решений и их устойчивость остаются неизменными. 1121
Рассмотрим сначала построение бифуркационной диаграммы s простом случае,
когда мы могли воспользоваться методом
/Зо
/3
Рис. 5.16. Схематическое изображение процесса построения кривой точек
комплексной бифуркации (бифуркации Андронова - Хопфа) на бифуркаци-•онной
диаграмме; s - устойчивое стационарное решение, п - неустойчивое.
•отображения параметра. Так, для задачи 1, согласно формуле (5.2.4) из §
5.2, мы имели
По______________р (0 - вс) + Ав_________
Далее, в § 5.4 для нахождения точки поворота на зависимости (c)(Da) из
условия dDa/d@ = 0 мы получили квадратное уравнение относительно 0
следующего вида;
•я(Л, у, В, р, @С)@2 + Ь(А, у, В, Р, 0с)0 + с(Л, у, В, р, 0С) = 0.
(5.6.3)
Таким образом, для нахождения точки поворота ((c)*, Da*) мы имеем два
уравнения (5.6.2) и (5.6.3). Для построения бифуркационной диаграммы в
плоскости параметров В - Da нам •нужно было бы теперь продолжить решение
((c), Da) уравнений i{5.6.2) и (5.6.3) в зависимости от параметра В. Однако
здесь
190
Глава 5
мы можем воспользоваться следующим более простым способом:
a) Выберем значение (c)е(9С,В).
b) Из уравнения (5.6.3) найдем значение параметра В (это уравнение
линейно относительно В).
c) Из уравнения (5.6.2) подсчитаем значение параметра Da.
Рис. 5.17. Бифуркационная диаграмма задачи 1; у-^-ао, Л = 0,5, р = 0,8,
0С = 0; сплошная линия - кривая точек поворота, штриховая линия - кривая
точек бифуркации Андронова - Хопфа. В отдельных областях указано число
стационарных решений.
Если мы получим физически разумные значения параметров В и Da (в данном
случае положительные), то найденная пара чисел будет задавать точку на
линии кратности (кривой точек поворота) бифуркационной диаграммы (см.
рис. 5.17). На рис. 5.18 приведены несколько различных диаграмм решений.
5.6. Бифуркационная диаграмма
19!
Для нахождения точки комплексной бифуркации (бифуркации Хопфа) в случае
задачи 1 в § 5.5 мы вывели уравнение (5.5.15), которое в общем виде
записывается как
Бф,(0, Л, р, у, @с) + ф2(0, А, р, у. 0С) - 0. (5.6.4)
Конкретный вид функций ф! и q>2 читатель легко может найти яз формулы
(5.5.15). Это уравнение вновь оказывается линей-
Рис. 5.18. Диаграмма стационарных решений задачи 1 для нескольких
значений параметра В, у->оо, Л = 0,5, |3 = 0,8, 0С = 0; сплошные линии -
устойчивые решения, штриховые линии - неустойчивые решения.
ным относительно параметра В, в связи с чем мы можем применить
использованный выше подход и для построения линии нейтральности (кривой
точек комплексной бифуркации). Полуденная кривая также изображена на
бифуркационной диаграмме (рис. 5.17). Читатель может сопоставить кривую
точек комплексной бифуркации и точки потери устойчивости на диаграммах
решений, представленных на рис. 5.18. Далее, на рис. 5.19 изображены
фазовые портреты системы двух дифференциальных уравнений (Pl-6), (Р1-7)
задачи 1 для нескольких выбранных значений параметров Б и Da с диаграммы
бифуркаций. Здесь рассмотрены следующие качественно различные случаи:
192
Глава 5
a) предельный цикл вокруг одного неустойчивого стационарного состояния;
b) предельный цикл вокруг трех неустойчивых стационарных состояний;
c) три стационарных состояния, одно из которых устойчиво, а также
предельный цикл вокруг неустойчивого стационарного состояния;
Рис. 5.19. Фазовые портреты задачи 1, у-*00, Р = 0,8, Л = 0,5, 0С = 0. а)
В = 10, Da = 0,08, b) В - 10,6, Da = 0,0653, с) В = 12,5, Da = 0,0505, d)
В - 12,6; Da = 0,0475, е) В = 14, Da = 0,04; сплошная линия - траектория,
штриховая линия - предельный цикл, штрихпунктирная линия - сепаратриса.
d) три стационарных состояния, одно из которых устойчиво;
e) три стационарных состояния, два из которых устойчивы. Эти примеры были
выбраны нами для того, чтобы читатель мог более четко уяснить зависимость
между бифуркационной диаграммой, диаграммой решений и динамическим
поведением системы (её фазовым портретом).
5.6. Бифуркационная диаграмма
193
На рис. 5.20 приведены бифуркационные диаграммы для некоторых задач из
гл. 4. При этом бифуркационная диаграмма для модели Лоренца (задача 10,
рис. 5.20а) может быть построена аналитически.
Бифуркационная диаграмма для задачи 3 представлена на рис. 5.20Ь. Здесь
изображены лишь кривые точек поворота, которые ограничивают область трех
решений. Отметим, что точка возникновения изол (п. 5.4.3) отвечает
"крайней" точке Р на кривой точек поворота. Тот же вывод можно сделать из
сравнения бифуркационной диаграммы с геометрической схемой, изображенной
на рис. 5.10.
На рис. 5.20с приведена бифуркационная диаграмма для задачи 2. На ней
