Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 68

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 942 >> Следующая

В дальнейшем мы подробно рассмотрим два таких отображения: упрощенное
отображение Улама (§ 3.4) и сепаратрисное отображе: ние (§ 3.5).
Если линеаризовать (3.1.176) в окрестности неподвижной точки Jп+1 = Jn =
Jo, Для которой a (J0) - целое число, то
- параметр стохастичности, а /* = f!fKZKC - приведенное изменение
переменной действия, нормированное на единицу. Таким образом, обобщенное
стандартное отображение локально (по /) и эквивалентно произвольному
возмущенному отображению поворота. В случае /* = sin Qn оно переходит в
стандартное отображение (известное также, как отображение Чирикова -
Тейлора)
Отображение (3.1.22) использовалось Чириковым [70] и Грином
[165] для оценки перехода от регулярного движения к хаотическому. Эти
вопросы рассмотрены в гл. 4.
Достаточно симметричные отображения можно представить в виде произведения
более простых отображений. Представление явного отображения поворота как
произведения двух инволюций и ис-
х) Обсуждение важного вопроса о существовании и единственности решения
для неявного отображения, а также условий сходимости последовательных
приближений содержится в работе [474].- Прим. ред.
2) В оригинале-radial twist mapping (радиальное закручивающее
отображение).- Прим. перев.
предыдущего J)j_p\ в функцию /. Оба метода обеспечивают быструю
Jп+1 - Jп + б/ (0"), 0n+i = 0" -)- 2я<х (J п +1).
(3.1.17а)
(3.1.176
(3.1.20а)
(3.1.206)
(3.1.18)
(3.1.21)
(3.1.19)
(3.1.22а)
(3.1.226)
182
Глава 3
пользование такого представления для нахождения неподвижных точек описано
в п. 3.36 и 3.4г.
Обобщение возмущенного отображения поворота на случай большего числа
степеней свободы при Я = const получается с помощью производящей функции
Отсюда находим (N-1) пару канонических (по построению из /Д) отображений
Если ,? не зависит от Уп+1, получается (2N-2)-мерное явное отображение
поворота. Примером такого отображения могут служить разностные уравнения
в задаче о бильярде. Эта задача упоминалась в п. 1.46 и подробно
рассмотрена в гл. 6.
Вводя х -= (J, 0), можно символически записать все такие отображения в
виде
* 3.1 в. Уравнения Гамильтона и отображения
Как уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и
обратно используется при анализе движения динамических систем. Как мы
увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем
описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко
провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени
порядка миллионов периодов. Наконец, аналитический вывод диффузионных
уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из
отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче
получить из уравнений Гамильтона. Как мы увидим ниже, отображения можно
представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это
позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых
систем. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к
отображению, и наоборот.
Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции f и g
возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке
по е следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона
^2 - Jn+i'+ 2зхз^(Jn+i) Д (Jn+ъ в"). (3.1.23)
(3.1.24а)
(3.1.246)
(3.1.25)
dJ_j
dt
(3.1.26)
Отображения и линейная устойчивость
183
на одном периоде движения по 02, получаем Т2
A/i= ef dt - J2, 0" -j-<вД, 0го~ги2О| (3.1.27)
J 00i
О
где (напомним) J2> о"! и со2 - функции Jn+1, и использованы невозмущенные
переменные J, 0, т. е. интегрирование производится по невозмущенной
траектории. Изменение переменной действия J определяется соотношением
ef(Jn+1, 0") = А/1(/"+1, 0"). (3.1.28)1)
Соответствующее изменение фазы наиболее удобно определить из условия
сохранения площади (3.1.16). Для возмущенного отображения поворота это
дает
g(J, 0)=-J-|-d0. (3.1.29)
В случае явного отображения поворота g = 0.
При вычислении изменения одной из переменных действия не обязательно
выражать невозмущенное движение по остальным степеням свободы в
переменных действие-угол. Для гамильтониана
H - H0(Ji, Р2, <7г) ~ (Jъ 01, Pi, Qi)- (3.1.30)
Уравнение (3.1.26) остается прежним, откуда с точностью до е имеем
Т2
А7Х= -е Г dt-^-(Jn+1, Qn+iojt, Pi(t), %(0). (3.1.31)
J 001
о
Мы вернемся к этому выражению при рассмотрении сепаратрис-ного
отображения в § 3.5.
Описанная процедура обобщается и на случай N степеней свободы, что
приводит к изменению N-1 переменной действия
T^N
AJ=-е j dt--- (Jn+i, Jдг, 0n + to/, eN-'rd)Nt) (3.1.32) 0
и е/ = A J. Как и в (3.1.15), функция К в (3.1.23) находится путем
интегрирования / по 0", откуда g = d$/dJn+1, и отображение (3.1.24)
полностью определено.
Переход к уравнениям Гамильтона. Рассмотрим явное отображение поворота
(3.1.17). Часто бывает желательно представить отображе-
Ч В этом соотношении J2 выражено с точностью до е через Jх из
гамильтониана tf0 (Jlt J2) = const - Прим. ред.
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 72 73 74 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed