Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
переходит из левой половины комплексной плоскости в правую. Переход
вещественного собственного числа через нуль обсуждался нами в § 5.2. Если
пара комплексно-сопряженных собственных чисел пересекает мнимую ось, то
матрица Якоби все время остается невырожденной, и на диаграмме
стационарных решений мы имеем регулярную точку данной ветви. Однако
характер стационарного решения при этом переходе может измениться:
устойчивое решение может стать неустойчивым (или наоборот). Точки
диаграммы стационарных решений, в которых пара комплексно-сопряженных
собственных чисел пересекает мнимую ось, называются точками комплексной
бифуркации или точками бифуркации Хопфа, по имени математика,
опубликовавшего одну из основополагающих работ о характере решений в
окрестности таких точек. Следующий существенный факт мотивирует
разработку алгоритмов для нахождения точек комплексной бифуркации: в
указанных точках (при выполнении определенных условий) от ветви
стационарных решений отходит ветвь периодических решений. Этот параграф
мы посвятим методам определения этих точек; алгоритмам для расчета и
продолжения периодических решений будет посвящен §5.8.
5.5.1. Аналитические подходы
В случае некоторых задач невысокой размерности для нахождения точек
комплексной бифуркации нет необходимости обращаться к численным методам.
Можно воспользоваться аналитическими подходами, основанными на том, что
мы легко раскрываем определители матриц порядка 2 и 3 и находим корни
многочленов такой же степени2).
о Этот термин не является общепринятым. - Прим. ред.
2) Корни многочлена третьей степени легко находятся, если среди них •есть
чисто мнимые.
12 М. Холодниок и др.
178
Глава 5
Проиллюстрируем сказанное на примере двух задач: модели Лоренца (см.
задачу 10) и модели реактора с перемешиванием, для реакции 1-го порядка
(см. задачу 1).
Модель Лоренца описывается системой уравнений
х = -or* + ay,
у = -xz + гх -у, (5.5.1>
z = xy - bz,
правые части которых имеют матрицу Якоби вида
-а а О"
г - z -1 -х ¦ (5.5.2>
У х - Ь.
Для нетривиального стационарного решения (см. формулу
(Р10-5))
х = у = ±[Ь {г - l)]I/2> z - r- 1, г>1 (5.5.3>
построим характеристический многочлен матрицы J
Р(Я) = Я3 + (<т + й+ 1)Я2 + й(г + <т)Я + 2<тй(г- 1). (5.5.4)
В точке бифуркации Хопфа этот многочлен должен иметь два взаимно
сопряженных чисто мнимых корня, которые мы обозначим как ±г'Я0. Третий
(вещественный) корень обозначим Xj. Тогда
Р (Я) = (Я + iX0) (Я - 1'Я0) (Я - Я,) = Я3 - Я^2 + Я2Я - я;я2. (5.5.5>
Сравнивая формулы (5.5.4) и (5.5.5), получим
а + b + 1 = -Я], й(г + <т) = Я2, (5.5.6>
2ab (г - 1) = -Я,Я2.
Считая а и b фиксированными, имеем систему трех уравнений относительно
неизвестных Я0, Я1 и г. Если учесть, что r> 1, то* из уравнений (5.5.6)
следует, что Я] С 0 и Яо^О. Перемножая левые и правые части первых двух
уравнений системы (5.5.6) и вычитая полученный результат из последнего
уравнения?
(5.5.6), мы получаем соотношение1)
(а + b + 1) b (г + а) = 2ab (г - 1),
о Если вещественный многочлен л3 + A{'t? + АЛ + Аа имеет чисто мнимый
корень, то Ао - AiA2. - Прим. ред.
5.5. Комплексная бифуркация (бифуркация Хопфа)
179
в которое входит только неизвестная г. Отсюда
г+ <т (ст + 6 + 3) ГЧ ч 71
г - (0-6-1) '
где г+ - значение параметра г в точке комплексной бифуркации; значения
переменных х+, у+, z+ подсчитываются по формулам (5.5.3).
Для системы двух дифференциальных уравнений с матрицей Якоби
, Г"" а121
L й21 СЦ>2 J
(5.5.8)
характеристический многочлен J имеет вид
Р (Я) = Я2 (aj[ -)- Ц22) ^ "Ь ((r)11(r)22 - (r)21а12)- (5.5.9)
В точке комплексной бифуркации этот многочлен имеет два
чисто мнимых корня:
Р (Я) = (Я - *Я0) (Я + ;я0) = Я2 + Я2. (5.5.10)
Сравнение (5.5.9) и (5.5.10) дает
Оц "Ь ?*22 = 0,
2 (5.5.11)
CLnO,22 - Й21Я12 = Яо > 0.
Используем теперь описанный подход для отыскания точек комплексной
бифуркации в задаче 1. Матрица Якоби для правых частей уравнений (Р1 -6)
и (Р1-7) имеет вид
Г ~Л - Da В (в) Da (1 - х) Ех (0) 1
L -DaBE(0) -A + Dafi(l-*)?,((c))-pi (5-5,12)
где введены обозначения ?((c)) = exp (0/(1 + 0/у)) и ?,((c)) = = ?(0)/(1 +
0/у)2.
Первое из условий (5.5.11) приводит нас к уравнению
-2Л - Da Е (0) + Da (fi - 0 - (0 - 0С)) (0) - р = 0,
(5.5.13)
где мы подставили х = 0/В + р(0 - 0с)/ВЛ (см. формулу <5.2.3)).
Уравнения, описывающие стационарное состояние, .дают еще соотношение
между 0 и Da (см. (5.4.16):
0а = 7-Ив ш-еп • <5-5Л4>
(в - 0 - л е)) Е (0)
12*
180
Глава 5
Подставляя выражение для Da в уравнение (5.5.13), мы получаем кубическое
уравнение относительно 0 (при фиксированных В, Л, р, 0С) следующего вида:
(Р(0 - 0с) + Л(c) - (2Л + Р) (1 + 0/у)2) (В - 0 --Р-(0 ~ 0с) ) -
- (р(0-0с) + Л0)(1+0/у)2 = О. (5.5.15)
Решение этого уравнения дает нам значения переменной 0+, после чего по
формуле (5.5.14) нетрудно найти значения параметра Da+, отвечающие точке
комплексной бифуркации. В табл. 5.12 приведен пример такого расчета для
