Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью генератора случайных чисел будем формировать начальные
приближения для алгоритмов нахождения точек, поворота и особенно точек
ветвления. К каждой найденной точке поворота или точке ветвления мы
применяем алгоритм, продолжения по каждой ветви, отходящей от этой точки,
заканчивая процесс продолжения по достижении уже известной точки
ветвления или точки поворота. Основная трудность здесь состоит в том,
чтобы с помощью данного алгоритма не просчитывать некоторые ветви решения
дважды или четырежды.
5.4.3. Возникновение изол на диаграмме решений
Возникновение и существование изол на диаграмме решений; мы попытаемся
объяснить с помощью двухпараметрической системы уравнений
fi(xu х2, ..., хп, аи а2) = 0, г= 1, 2, ..., п. (5.4.32)
Принимая во внимание сложности графического представления такой системы,
будем полагать в ней п = 1, т. е. рассматривать уравнение вида
fi(x,, аь сед)== 0. (5.4.32а)
Множество S(fi) = {(*,, щ, аз) е R3, М*ь аь 03) = 0} представляет собой в
общем случае некоторую поверхность в R3. Предположим, что эта поверхность
имеет вид параболоида вращения с вершиной в точке Р, ось которого
параллельна оси а2 (см. рис. 5.10). Зафиксируем теперь параметр а2 в
формуле (5.4.32а), полагая а2 = 5,2¦ Мы получаем уравнение с одним
параметром, диаграмма решений которого представляет собой пересечение-
множества S(fi) (параболоида вращения) с плоскостью а2=а2. На рис. 5.10
видно, что при а2<а2 это пересечение пусто, при й2 = а* оно вырождается в
точку Р, а при а2 > а2 указанное пересечение представляет собой некоторую
замкнутую кривую. Ортогонально проектируя эту замкнутую кривую на
плоскость xi - <*i, мы получаем в этой плоскости искомую изолу. Описанная
ситуация схематически представлена на рис. 5.11.
Сформулируем теперь необходимые условия, позволяющие определить точку Р'>
для системы общего вида (5.4.32). В окрестности этой точки переменную а2
можно рассматривать
Р = (х*, а*, а2) - точка на двумерной поверхности S = (х, aj, а2 е <s
R"+2; f (х, ар а2) = oj, являющаяся изолированной точкой в пересечении S
с плоскостью а2 = а2. - Ярим. ред.
5.4. Точки ветвления стационарных решений
171
.Рис. 5.11. Схематическое изображение возникновения изол на диаграмме
решений.
172
Глава 5
как функцию переменных xk, а.\ (при некотором фиксированном k)
а2 - Ф (xk, сц). (5.4.33)
Действительно, выбрав значения xk и щ, из уравнений (5.4.32) можно
определить оставшиеся неизвестные хи xk-\, ....
..., хп и а2 и таким образом получить функциональные зависимости Xj =
Xj(xk, ai) и a2 = a2(x*, ai) (=<р(х&, aO). Функция <р имеет экстремум в
точке Р и, следовательно, для нее должны выполняться соотношения
J5L = ", А = 0. (ЪА.щ
Положим хп+i=a,2, считая, что матрица ik задана выражением
(5.2.12). Дифференцируя систему (5.4.32) по переменной хи, мы получаем
систему линейных алгебраических уравнений
J*'r = - <5-4-35>
относительно составляющих вектора
г = (r r\ = (-1 дХк-1 dXk+l дХп даЛ
п) \3хк дхк ' дхк ' •••' dxk' dxj-
(5.4.36)
Первое из условий (5.4.34) можно при этом записать в виде 1, х2, ..., xni
ctj, ct2)== О (5.4.37)
Дифференцируя (5.4.32) по аь получим систему
=----------------------------(5.4.38)
где использовано обозначение
в_/< - дХк-1 дХк+1 дхп да2Л
' 1' п' V dai ' ' ' ' ' dai ' 9ai ' ' ' ' ' dai ' dai J
(5.4.39)
и, следовательно, второе из условий (5.4.34) записывается в виде sra(xb
х2, .. ., хп, аь а2) = 0. (5.4.40)
дх, ( da" \
*) Компоненты г имеют смысл производных I или -^ 1 на по-
верхности f = 0. Однако систему (5.4.35) можно рассматривать и вне этой;
поверхности; тогда r = r(x, ai, a2). Именно так понимается гП в
(5.4.37).- Прим. ред.
5.4. Точки ветвления стационарных решений
173
Отметим, что системы (5.4.35) и (5.4.38) имеют одну и ту же матрицу и,
следовательно, решение их может быть найдено с помощью метода исключения
Гаусса для обеих правых частей одновременно.
Итак, для определения координат точки Р мы имеем в самом общем случае п +
2 уравнений (5.4.32), (5.4.37) и (5.4.40) относительно п + 2 неизвестных
х\,х2, ..., хп,а\,а2 [5.13]. Задавая значения этих неизвестных, мы можем
найти левые части указанных п + 2 уравнений и затем использовать для
нахождения решений этой системы соответствующие итерационные процедуры,
например обобщенный метод секущих или метод Ньютона с матрицей Якоби,
подсчитываемой с помощью разностных формул (при аналитическом вычислении
производных для соотношений (5.4.37) и (5.4.40) нам потребовалось бы
вычислять частные производные второго порядка от функций /,¦).
Изолы могут существовать либо при а2 > а*, либо при а2 < < а2. Различить
между собой эти два случая можно опытным путем, используя метод Ньютона
для а2 > а2 и а2 < а2, причем существование решения доказывается
сходимостью к этому решению на изоле*>. Другая возможность заключается в
том, чтобы вычислить частные производные второго порядка d\jdx\,
д2(р/дхкда1, д\1да\ и использовать условия Сильвестра для минимума и
