Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
характеризуется конечным значением производной dxi/da (см. (3.2.4)).
Если оба значения производной оказываются конечными, то,
выбирая меньшее из этих двух значений,
полагаем
направление 1:
= (5.4.26)
где Si вычисляется согласно формуле (3.2.6). Другое направление
характеризуется конечным значением производной da/dxi и, следовательно,
5.4. Точки ветвления стационарных решений
165
направление 2:
-gt'-S,. (5.4.27)
8. С помощью полученных таким образом двух характеристи-'ческих
направлений мы находим четыре исходных точки для
Таблица 5.7. Стартовые точки для процесса продолжения. Для каждого
направления мы получаем две точки, одну для Р = 1 и другую для Р = -1.
Здесь Ni - параметры направления для процесса продолжения, k - индекс
переменной, которая остается фиксированной в ходе ньютоновских итераций
для уточнения стартовой точки.
Направ- ление Стартовая точка Nl k
1 а = а** + Pha *1 - *1 + PhgSl xi=*i +Ph* [<PnSl + Фга] 1 = 2, ...,
n Nn+x=p Ni = P sign (S,) Ni = P sign (vJjSj +Ф^а) i = 2 n ti +
1
2 xi=x7 + phi a = a** + PhiS2 xi=xY+Phl [q>n + <p',aS2] i = 2, ..., n
Ni = P Nn+ i=psign(S2) Ni~p sign (фи + Ф(а52) i = 2, ..., n 1
процесса продолжения решения (см. табл. 5.7). Здесь использовано то, что
изменение остальных переменных подчиняется соотношениям
dx, , dx,
= + <5-4-28)
.или
dx. da
*г="р"+ф;.*г (5-4-29)
В таблице приведены также направляющие параметры Ni для каждой из
переменных (см. алгоритм в п. 5.2.3) и индекс k переменной, которая не
изменяется в ходе итераций метода Ньютона для уточнения стартовой точки.
9. По окончании проведения ньютоновских итераций мы можем
проконтролировать, соответствуют ли найденные стартовые
166
Глава 5
точки (хи х",а) предсказанным точкам; например, для направления 1 это
можно сделать с помощью оценок
Для направления 2 тестовая оценка производится аналогично"
Рис. 5.8. Диаграмма решений задачи (5.4.31) в окрестности точки
бифуркации*.
Проиллюстрируем применение описанного алгоритма на следующем примере:
fl - x1 - 2x2 - a - х{х2 - 3*2а + х\ - 2х\ - а2 = О,
/2 = *2-х2*2 + а2*2-а2 = 0. (5.4.31)*
Сходимость метода Гаусса-Ньютона (5.4.8) к точке ветвления х** = (1,
1/3), а** = 1/3 показана в табл. 5.8. Ход вычислений представлен в табл.
5.9, а поведение ветвей решения изображено" графически на рис. 5.8.
(5.4.30)"
1
1
2
5.4. Точки ветвления стационарных решений
167
Таблица 5.8. Сходимость метода Гаусса - Ньютона к точке ветвления для
системы (5.4.31).
Итерация Х2 а
0 1,000 1.000 1,000
1 0,992 0,497 0,502
2 0,996 0,348 0,349
3 1,000 0,333 0,333
4 1,000 0,333 0,333
Исследуем теперь характер разветвления в точках первичной бифуркации для
задачи о двух реакторах с модельной реакцией типа "брюсселятор" (см.
задачу 8). В качестве параметра а выберем параметр D\, полагая D2 = Di/p,
р = 0, 1. Независимо от D\ в задаче существует тривиальное стационарное
решение Х\ = Х2 - А, Y\ = Y2 = B/A. Матрица Якоби для правых частей
оказывается равной (если расположить переменные в порядке Xu Yi, Х2, У2)
" -(В + 1) + 2XiY1 - а х\ а О
В - 2*^ ~Х\- Юа 0 10а
а 0 -(В + 1) + 2X2Y2 - а х\
0 10а В - 2X2Y2 -Х\ - 10а _
ж, следовательно, в случае тривиального решения мы имеем
А2 а 0 1
А2- 10а 0 10а
0 В - 1 - а А2 10а -В -А2 - 10а -
'Положим А - 2, В = 6. После соответствующих вычислений находим, что
значения параметра а, при которых матрица Якоби имеет нулевое собственное
число, равны 0,0443 и 2,256. Таким образом, мы имеем две точки бифуркации
(2; 3; 2; 3; 0,0443) и (2; 3; 2; 3; 2,256). Направления ветвей решения в
первой из них, полученные с помощью описанного выше алгоритма, приведены
в табл. 5.9. Эти результаты хорошо согласуются ¦л диаграммой решений,
представленной на рис. 5.9; точка
г В - 1 - а -В а 0
Таблица 5.9.
а) Ход вычислений для точки ветвления (1; 0,3333; 0,3333) из примера
(5.4.31).
~ Г 2,6667 -5,3333 -2,6667 Т
j - [_ о о о J ' ^21 - *^2а -
/=i 1=2 1=а
fn, 2 -1 0
^ 12/ -1 -4 -3
flat 0 -3 -2
hij 0 -1,3333 1,3333
^22/ -1,3333 0 0
4/ 1,3333 0 0
Л = -1,3333, В = 2, С = 0; Si = dxijda = 0, dx2/da = -0,5; S2 = = da/dxi
= 0,3333, dx2ldxi = 0,3333.
Стартовые точки (hi -ha = 0,01):
*i *2 а Ni n2 N3 k
1,000 0,328 0,343 0 -1 1 3
1,000 0,338 0,323 0 1 -1 3
1,010 0,336 0,336 1 1 1 1
0,990 0,330 0,330 -1 -1 -1 1
b) Направления разветвления в точке первичной бифуркации (2, 3, 2, 3,
0,04433) для задачи 8. А - 2, В = 6, р = 0,1.
Направление 1: dXi dYi dX2 - dY> -0
da da da da
Направление 2:
Ж-12т- Ж-'- -яг-1'2278' ж
5.4. Точки ветвления стационарных решений
169
бифуркации является здесь одновременно и точкой ветвления, и ¦"точкой
поворота".
5Рис. 3:9. Диаграмма стационарных решений задачи 8, N = 2; А = 2, В = 6,
Р = ОД.
При построении диаграммы решений важной проблемой яв-.ляется отыскание
всех ветвей решения. Наряду со случайным выбором начальных приближений
для метода Ньютона (см. §5.1) мы можем теперь воспользоваться еще одной
возможностью.
170
Глава 5
