Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
19,0 0,3483 -0,8555 1,044 6.9 Е - 1 - 1 - 1 - 1
20,0 0,1980 -1,825 1,195 6,9 Е - 1 - 1 - 1 1
21,0 0,1381 -2,663 1,724 6,8Е - 1 - 1 - 1 1
Д z
0,2 0,1 0,05 '0,02 0,01 0,005
г 5 5 5 5 5 5
X 0,5163 0,5166 0,5167 0,5168 0,5168 0,5168
0 4,9664 4,9676 4,9682 4,9685 4,9686 4,9686
т 0,0201 0,0201 0,0200 0,0200 0,0200 0,0200
Ilf II 2,9 Е - 2 2,2Е - 2 1,ЗЕ - 2 5,6Е - 3 2,9Е - 3 1.5Е-
3
2 12 12 12 12 12 12
X 0,9665 1,1904 0,9972 0,9997 0,9736 0,9797
0 11,814 11,912 11,869 11,818 6,0281 6,3726
т -0,1286 -0,0005 -0,1128 -0,1084 0,3360 0,3010
Ilf II 8,2Е1 1.0Е1 1.5Е1 1.1Е1 6,2Е - 1 2ДЕ0
1; При выборе "главного" элемента в строке 1 берется max (р; а,у).
Аналогично на следующих шагах метода исключения.
144
Глава 5
а (расширенная) матрица Якоби J системы (5.2.16) (если обозначить Е -
ехр(0/(1 + 0/v))) записывается как
Применим теперь вычислительный алгоритм, соответствующий расчетной схеме
рис. 5.3, для случая различных шагов интегрирования Да. Результаты
вычислений представлены в табл. 5.4. Первая часть этой таблицы может быть
использована для более глубокого уяснения метода. Читатель может легко
сопоставить полученные результаты с данными рис. 5.2 для а = 1. Вторая
часть таблицы характеризует влияние погрешностей аппроксимации при
выбранном методе интегрирования. При этом чем меньше шаг интегрирования,
тем лучше найденные значения аппроксимируют реальную зависимость. Из
таблицы видно, что даже в случае рассматриваемой простой задачи для
получения достаточно точных результатов нам пришлось бы выбирать Az очень
малым. Это обусловлено, конечно, в первую очередь низким порядком
аппроксимации используемого метода Эйлера (погрешность аппроксимации в
этом случае есть О (Да)). Если выбрать более эффективный метод
интегрирования, например метод Рунге-Кутты 4-го порядка, то результаты
окажутся более точными. Полученное решение, однако, также, хотя и в
меньшей степени, будет отличаться от истинной зависимости. Вследствие
этого представляется необходимым после прохождения некоторого интервала
изменения переменной z всегда уточнять решение, т. е. корректировать его
так, чтобы выполнялось исходное уравнение (5.1.3), или, для
рассматриваемого случая, уравнения (5.2.16). Так появились методы
продолжения типа предиктор-корректор, которые мы опишем в следующем
пункте.
5.2.3. Алгоритм продолжения типа предиктор-корректор
В принципе существуют две возможности коррекции погрешностей
аппроксимации, накапливающихся при продолжении решения с использованием
простого предиктора. Первая из них заключается в том, чтобы
контролировать, как отличается решение от истинного, например, по норме
||f||, и когда это отличие превышает некоторый заранее заданный допуск,
использовать для уточнения результатов какой-либо итерацион-
J =
-Л - k0xE,
-&qTBE, -Л -f-
k0% (1 - x) E
(1+e/Y)2 '
k0xB (1 - x) E (1+e/Y)2
k0(l - x)E
ax, k0B(l-x)E-a(Q-Qc)_ (5.2.17)
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
145
ный метод (например, метод Ньютона). При другом подходе также
используется метод Ньютона, но после каждого шага предиктора. При этом в
методе Ньютона осуществляется лишь такое число итераций, чтобы приращение
Ах по соответствующей норме оказалось бы меньше заданной точности
вычислений. В обоих подходах уточняются выбранные п из n+ 1 переменных
xi, ..., хп, Хп+1 = а.
Выбор неизменяемой переменной (ее индекса k) не является произвольным:
например, в окрестности предельной точки это не может быть а, а в
окрестности экстремума х, это не может быть Xi. Поэтому алгоритм выбирает
ее сам, причем одной из возможностей является использование того же
самого механизма, что в п. 5.2.2. Диаграмма вычислений для описанного
алгоритма продолжения типа предиктор-корректор представлена на рис. 5.4.
В работе [5.5] этот алгоритм расписан на языке Фортран, соответствующая
подпрограмма называется DERPAR. В данной книге мы будем использовать это
название. Отметим, что в этой подпрограмме вместо метода Эйлера в
предикторе используются варианты многошагового метода Адамса-Башфорта
переменного порядка.
Приведенный алгоритм продолжения беспрепятственно преодолевает точки
поворота на зависимостях решения от параметра. В точках же ветвления он
обычно дает продолжение первоначальной ветви решения. Продолжение может
не удаться, если очередная вычисленная точка окажется слишком близкой к
точке ветвления. Сигналом, указывающим, что мы перешли за точку
ветвления, может служить изменение знака det Jfe определителя матрицы J*.
Таким образом, указанный алгоритм формирует зависимость решения от
параметра, представляющую собой непрерывную кривую в (п+1)-мерном
пространстве переменных х\, ..., хп, xn+i = а. Разумеется, алгоритм
DERPAR не приспособлен для того, чтобы с его помощью построить всю
диаграмму решений целиком. Для каждой изолированной ветви кривой f(x, а)
= 0 ему нужна новая начальная точка, которую можно получить, например,
методом случайного перебора начальных приближений для схемы Ньютона (см.
