Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
может легко построить соответствующие алгоритмы для отображения
параметров В, р и 0С, а если воспользоваться решением соответствующего
квадратного уравнения, то и для отображения параметра Л.
Рассмотрим теперь задачу 1 в форме (Pl-6), (Р1-7), введя параметры т
(время задержки в реакторе) и а по формулам [5 = а%, Da = &ot. Совершенно
аналогично можно построить ал-
Напомним, что Da - обозначение одного параметра (числа Дамкёле-ра), а не
произведение D-a. - Прим. ред.
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
137
Таблица 5.3. Отображение параметра Da в задаче 1 (у = 20, В = 10, Л = 1,
0с = -5, Р = 0,6)."
в D.1 X К К2 Тип
-1,85 0,03084 0,004 -1,0 -1,6 SU
-1,5 0,32306 0,060 - l,0±0,4i so
-0,8 0,47798 0,172 -0,08 -0,87 SU
-0,75 0,47849 0,180 -0,01 -0,87 SU
-0,7 0,47823 1,188 0,056 -0,87 s
0,0 0,42857 0,300 0,83 -0,86 s
0,5 0,37631 0,380 1,2 -0,84 s
1,0 0,32866 0,460 1,5 -0,8 s
1,5 0,29083 0,540 1,6 -0,73 s
2,0 0.26484 0,620 1,5 -0,61 s
2,4 0,25394 0,684 1,1 -0,37 s
2,55 0,25260 0,708 0,68 -0,13 s
2,6 0,25254 0,716 0,42 0,06 NU
2,65 0,25270 0,724 0,21±0,66i NO
2,85 0,25572 0,756 0,047 ±1,71 NO
2,9 0,25727 0,764 -0,005 ±2,0i SO
3,2 0,27374 0,812 -0,44 ±3,0i SO
3,5 0,31241 0,860 -1,3 ±3,8i SO
3,8 0,40502 0,908 -3,0 ±2,7i SO
4,0 0,55889 0,940 -2,1 -9,7 SU
4,2 1,0790 0,972 -1,7 -29 SU
4,35 6,9904 0,996 -1,6 -240 SU
О См. п. 5.3.4 (S - седло, SU - устойчивый узел, NU - неустойчивый узел,
SO- устойчивый фокус, NO - неустойчивый фокус, Я,ьа - собственные числа
матрицы Якоби).
горитм для отображения параметра т. Фиксируя значение 0, мы получаем для
т квадратное уравнение вида
p!i^exp(_e_)]t! +
+ [ко (В - 0) exp ( t +в/у) -а (в- 0С)] т + [-Л0] = 0. (5.2.5)
Диаграмма решений, построенная с помощью этого уравнения для нескольких
различных значений параметра а, представлена на рис. 5.2.
Читатель может легко вывести аналогичные алгоритмы для задач 5 и 6. В
обоих случаях фиксируются значения концентрации субстрата Cs и
подсчитывается значение некоторого параметра задачи. В задаче 6 это могут
быть параметры р,, V/F, Ks, Ki. В случае же задачи 5 соответствующая
процедура оказывается более сложной, и мы приведем лишь краткое ее
описание.
138
Глава 5
0. Левые части соотношений (Р5-1) - (Р5-6) полагаем равными нулю. При
этом для стационарных значений cz и ст МЫ получим Cz = CzO, ст = Сто.
1. Выбираем значение cs.
2. Из уравнений (Р5-1) и (Р5-2) вычисляем сх и р.
3. Подставляя результат в уравнение (Р5-3), находим линейную зависимость
рс от сс, которую затем подставляем
Рис. 5.2. Диаграмма стационарных решений задачи 1, у = 20, В - 10, Л=1,
0с = -5, ko = 1; сплошные линии - устойчивые решения, штриховые -
неустойчивые решения.
в соотношение (Р5-4). При этом мы получаем квадратное уравнение
относительно сс. Физически допустимые решения этого квадратного уравнения
дают нам окончательные значения сс, рс-
4. Из уравнения (Р5-9) для р (величину р мы уже определили на этапе 2)
можно найти теперь один из параметров p., Ks, Ки Ко, К\ в предположении,
что остальные параметры заданы.
Как уже говорилось, метод отображения параметра не обладает достаточной
общностью. В связи с этим были развиты методы общего характера, которые
мы рассмотрим в следующих пунктах.
5.2. Зависимость стационарных решений от параметра
139
5.2.2. Метод дифференцирования по параметру
Пусть в точке (х°, а0) выполнены условия теоремы о неявной ¦функции: f
(х°, а0) = 0 и матрица Якоби J (х, а) = [dfi/dXj] невырожденная.
Тогда для функции х{а), задаваемой уравнением f(x, а) = 0,
g = -[J(x, а)гЧ^(х, а). (5.2.6)
Соотношение (5.2.6) можно трактовать как систему дифференциальных
уравнений для нахождения функции х(а) с начальным условием
ХЫ = Х°. (5.2.7)
Если матрица J на промежутке [а0, а1] оказывается регулярной (имеющей
обратную), то зависимость решения от параметра х(а), найденная путем
интегрирования этой системы, будет удовлетворять соотношению
f(x(a), a) = 0, a g [a0, a1],
поскольку
f (x (a), a) = J (x (a), a) • -^- + -?¦ (x (a), a) s= 0.
В критических точках диаграммы решений матрица J оказывается вырожденной,
и потому указанный подход, т. е. численное интегрирование системы
дифференциальных уравнений
(5.2.6), отказывает в тех же точках, что и процедура последовательного
применения метода Ньютона *>. Однако этот метод можно модифицировать
путем введения нового параметра. Обычно в качестве такого параметра
выбирается длина дуги на кривой f(x,a) = 0 в (п+1)-мерном пространстве
переменных Xi,X2, ..., хп, а.2) Обозначим ее через z; тогда,
дифференцируя тождество f (x(z), a (2)) = 0 по z, находим
"• <>¦**>
/=1 1
При этом уравнение
(?)'+••• +(тг)! + (?У=1 <5-2-9>
о Точнее, в этих точках теряет смысл само уравнение (5.2.6). ¦-Прим.
ред.
2> Дело, конечно, не в выборе параметра, а в рассмотрении хна как
равноправных переменных. Эта, почти очевидная, мысль не требует
обязательного рассмотрения дифференциального уравнения (5.2.6). - Прим.
