Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
отдельно.
Проиллюстрируем указанный подход на примере, приведенном в гл. 4 в
качестве задачи 8 для случая N = 2,3,4. В табл. 5.1 представлены решения
для двух, трех и четырех связанных между собой реакторов (т. е. для п =
4, 6,8 в системе
(5.1.3)). Число решений при этом оказывается соответственно равным 3, 7 и
15 [5.2]. В случае цепочки из большего числа реакторов количество
различных стационарных решений будет еще больше.
Начальные приближения х° для метода Ньютона выбирались случайным образом
из интервалов
дс°е=(0, 10), * = 1,2, ...,". (5.1.8)
Примеры расчета итераций приведены в табл. 5.2. На рис. 5.1 изображена
диаграмма успешности этого подхода для случая четырех связанных между
собой реакторов (N = 4).
9*
Таблица 5.1. Стационарные решения в случае модели линейного каскада
связанных друг с другом реакторов (задача 8: А - 2, В = 6, Di = 0,4,
?>2 = 4). В первой строке каждой ячейки указана величина концентрации Ху
во второй - величина концентрации Y.
Количество реакторов Номер стационарного решения 1 Реактор 2 1 3
4 Устойчивость решения (S -устойчивое, N - неустойчивое)
Два реактора (IV = 2) 0 2,00 3,00 2,00 3,00 N
1* 0,57 2,61 3,43 1,97 S
Три реактора (ЛГ = 3) 0 2,00 3,00 2,00 3,00 2,00 3,00 N
1* 4,96 1,40 0,68 2,57 0,36 3,01 S
2* 2,81 2,24 2,66 2,46 0,53 3,04 N
3 2,64 2,47 0,71 2,83 2,64 2,47 N
4 0,66 2,29 4,69 1,55 0,66 2,29 S
Четыре реактора (V-4) 0 2,00 3,00 2,00 3,00 2,00 3,00 2,00 3,00
N
1* 0,36 4,02 0,39 3,61 0,87 2,75 6,38 1,10 S
2* 0,37 3,70 0,54 3,27 2,82 2,27 4,27 1,56 N
3* 0,54 3,10 2,73 2,52 0,81 2,53 3,92 1.74 N
4а 3,43 1,97 0,57 2,61 0,57 2,61 3,43 1,97 N
4Ь 0,57 2,61 3,43 1,97 3,43 1,97 0,57 2,61 N
5* 0,51 3,38 2,25 2,84 2,46 2,50 2,77 2,28 N
6* 2,29 2,80 0,68 3,03 2,50 2,59 2,53 2,46 N
7* 0,36 2,91 0,78 2,46 6,10 1,21 0,76 2,05 S
* Каждое решение, отмеченное звездочкой, задает по существу два решения.
Второе решение, симметричное к указанному в таблице, например для N=4, мы
получаем, меняя местами значения концентраций в первом и в четвертом, а
также во втором и в третьем реакторах.
5.1. Стационарные решения
133
Таблица 5.2. Поведение итераций в процессе вычисления стационарных
решений методом Ньютона (задача 8: N = 4, А - 2, В = 6, Dx = 0,4, D2 =
4).
Итера- ция К, У, х2 У2 X, У; X, У<
0 3,195 0,769 3,964 4,732 8,696 3,428 2,124 5,553
1 11,115 4,012 0,985 7,304 -4,449 9,873 0,349 9,806
2 11,171 0,610 0,757 3,944 -2,768 6,279 -1,161 6,908
3 8,566 0,733 1,192 3,152 - 1,334 4,844 -0,424 5,359
4 7,598 0,910 1,701 2,999 -0,362 4,180 0,064 4,621
5 6,652 1,039 0,875 2,779 0,172 3,371 0,301 4,143
6 6,405 1,095 0,871 2,750 0,365 3,620 0,359 4,030
7 6,377 1,103 0,870 2,748 0,390 3,608 0,363 4,020
8 6,377 1,103 0,870 2,748 0,390 3,607 0,363 4,019
Область сходимости, т. е. область подходящих начальных приближений, в
некоторых случаях может оказаться очень мала. Иногда в подобной ситуации
используется метод продолжения решения из области (характеризуемой
определенным значением выбранного параметра), в которой решение отыскать
сравнительно легко, в область, где нахождение решения представляет
определенные трудности. Параметр, по которому мы продолжаем решение,
может быть реальным (физическим) параметром задачи, либо может
искусственно вводиться в постановку задачи. (Иногда мы говорим о
погружении исходной задачи в класс задач, зависящих от параметра.) Первый
из этих подходов будет рассмотрен в § 5.2, а второй, так называемый метод
введения искусственного параметра, кратко описывается ниже.
Запишем систему (5.1.3) в векторной форме
f (х) = 0; (5.1.9)
при этом значение параметра а мы считаем фиксированным и поэтому в
уравнениях его не указываем. Идея метода введения искусственного
параметра заключается в построении функции Н(т, х), зависящей от
некоторого вещественного параметра т, причем обычно те [0,1]. Функция Н
выбирается таким образом, чтобы решение уравнения
Н(0, х) = 0 (5.1.10)
можно было построить по возможности просто, например, не прибегая к
процессу итераций (это решение мы обозначим через х0). Далее, уравнение
Н (1, х) = 0
(5.1.11)
134
Глава 5
должно иметь те же корни, что и уравнение (5.1.9), например
Н (1, х) = f (х). (5.1.12>
Если существует непрерывная зависимость х(т), описывающая решение
уравнения
Н(т, х(т)) = 0, те [0,1], (5.1.13)
с условием х(0) = хо, то х(1) является решением исходного
уравнения (5.1.9). В принципе мы можем "протянуть" решение х от т
= 0 (когда х = хо) до т = 1 двумя способами. Первый из
них заключается в последовательном использовании
какого-нибудь итерационного метода (например, метода Ньютона) в узлах
сетки то = 0, ti, тг, ..., Тт = 1. В качестве начального приближения
процесса итераций для т = т;- можно выбрать решение x(t/_i). Второй
способ основан на дифференцировании тождества (5.1.13) по т, т. е.
зависимость х(т) ищется как решение системы дифференциальных уравнений
-f- = -[H^(T, х)]~'н;(т, X) (5.1.14)
