Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
численного анализа представлены в тексте в виде графиков или таблиц. В
заключение в § 5.12 приведено несколько задач, которые могут быть
использованы для вычислительного практикума.
5.1. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ
Динамическая модель с сосредоточенными параметрами может быть
представлена в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений
dx.
==: /1 (*b •*'2> *¦ ¦ ¦ у Ctj, . . . j ctm), i 1, 2, . . . , ft.
(5.1.1}
Систему (5.1.1) можно записать также в векторной форме
-g- = f(x, а), (5.1.2)
где использованы обозначения X (Xj, Х2, . . ., Xrt), f (/j, /о" • • • > f
п)> (r) (t^l> • • • > &m)-
Здесь Xi - это переменные состояния, t - время, a a - вектор параметров
системы. В большинстве случаев мы будем рассматривать свойства системы в
зависимости от одного скалярного параметра (m = 1). Это означает, что
значения оставшихся параметров фиксированы и, следовательно, такие
параметры являются "составной частью" функции f. Кроме того, мы будем
считать систему автономной, т. е. будем считать, что время t не входит
явным образом в правые части уравнений (5.1.1). Неавтономным задачам
будет посвящен § 5.11. Мы предполагаем, что правые части системы (5.1.1)
представляют собой непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.
Стационарное решение уравнений (5.1.1) удовлетворяет системе нелинейных
уравнений
fi(xu х2, ..., хп, а) = 0, г=1, 2, ..., п. (5.1.3)
Для решения этой системы (при фиксированном а) мы можем в принципе
использовать любые методы решения систем нелинейных уравнений. Читатель,
который более глубоко заинтересуется этой проблемой, может найти обзор
соответствующих методов в книге [5.1]. Если функции /,¦ можно
продифференцировать аналитически, то удобнее всего воспользоваться
методом
9 М. Холодниок и др.
130
Глава 5
типа метода Ньютона, представляющим собой один из вариантов метода
итераций. Для этого построим последовательность {х*} в соответствии с
рекуррентной формулой вида
xk+l = хк + aAxk, k = 0, 1, 2, (5.1.4)
где Ахк для данного k находится из решения системы линейных
алгебраических уравнений
J(x*, a)Ax* = -f(x*). (5.1.5)
Здесь через J обозначена матрица Якоби для системы (5.1.3),
т. е. матрица J = [dfi/dx,]. Параметр сое(0,1] выбирается
обычно так, чтобы
|| f (x*+1) || < || f (xfe) !|. (5.1.6)
В окрестности решения системы 5.1.3 условие (5.1.6) выполняется при со =
1, что соответствует классическому методу Ньютона; на большем удалении от
решения иногда оказывается полезным выбирать меньшую величину ш, с тем
чтобы условие (5.1.6) было выполнено. Указанная модификация классического
метода Ньютона позволяет расширить область сходимости метода по отношению
к выбору начального приближения х°.
Метод Ньютона обладает определенными достоинствами в отношении его
сходимости, однако слабым местом этого метода является необходимость
дифференцирования функций Если аналитическое дифференцирование
оказывается затруднительным, то часто используется вариант метода Ньютона
с матрицей Якоби, приближенно вычисляемой с помощью разностных отношений
dk W ^ fi(* + h*i)-fi W (5 ! 7)
dXj h ' \ • f
где h - достаточно малый шаг, а е; - единичный вектор с единицей на /-м
месте. Таким образом, для проведения одной итерации нам в общем случае
потребуется вычислять вектор f (п + 1) раз.
Сходимость метода Ньютона (равно как и других методов) существенно
зависит от выбора начального приближения решения х°. При этом уравнения
(5.1.3) часто имеют не одно, а несколько решений. Тем самым возникает
вопрос, как отыскать все решения данной системы. Такого рода задача
разрешима, вообще говоря, лишь в некоторых специальных случаях, например
при п - 1 и для функции /1 в виде полинома. В случае функций fi общего
вида чаще всего выбирается несколько различных начальных приближений х°,
после чего для каждого из них последовательно применяется схема Ньютона.
При этом для
5.1. Стационарные решения
131
выбранного начального приближения мы практически получаем один из
следующих результатов:
1. итерационный процесс сходится к физически приемлемому решению (новому
или уже найденному ранее);
2. итерационный процесс сходится к физически неприемлемому решению;
3. итерационный процесс расходится, т. е. значения переменных с какого-то
момента в ходе итераций превышают установленные пределы;
4. итерационный процесс не сходится с предписанной точностью при числе
итераций, не превосходящем заданного.
2
1<' ....
о -__1___j___ . . i L . t__[____^_________ .
10 20 30- АС 50 60 70 80 90 100 110 120 130 1А0'
К
Рис. 5.1. Диаграмма успешности применения метода Ньютона в зависимости'
от случайно выбранного начального приближения. К - порядковый номера
начального приближения. На вертикальной оси приведены номера полученных
решений (см. табл. 5.1 при JV = 4). Символ d означает расходимость метода
от соответствующего начального приближения. Для решений, отмеченных в
табл. 5.1 звездочкой, два симметричных решения на рисунке представлены
