Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
уравнение (4.1.29) в виде
F(y)=Y^T = -^r- (4.1.33)
Если предположить, что ые(0;1), то из формулы (4.1.28) следует, что
t/e(l;14-P). Если функция F(y) будет монотонно убывать на промежутке (1;
1+ Р). то при всех значениях Da будет существовать единственное решение.
Для реакции первого порядка это будет иметь место в случае, когда
VP<4(1 + P),
(4.1.34)
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
93
д для реакции произвольного положительного порядка (п > 0) при условии
Г(?/) = (л-1)(/3 + ?/2(Р + У+1 -")-^y(2+P) + y(1+P)>0. (4.1.35)
Рассмотрим теперь условия существования нескольких стационарных решений.
Если критерий однозначности (4.1.35) выполняется не для всех значений
числа Da, то функция F(y) при //e(l;l-f-|3) имеет локальный минимум и
максимум (см.
Рис. 4.2. Минимум и максимум функции F(y).
рис. 4.2). Таким образом, существуют три стационарных состояния для
значений числа Дамкёлера в диапазоне
1 F(u-x)
р(Утш) ^ 1 ^ F (Уг
р"-' Da р"-1 '
Например, для реакции первого порядка оказывается
у(2+ р)± У(ур[ур-4(1 + рщ 2(1 + р)
У max, I
(4.1.36)
(4.1.37)
Анализу возможности существования нескольких стационар-пых состояний и
примерам их возникновения в задачах теории горения и в моделях реакторов
разных типов посвящена обширная литература [4.12-4.21].
4.2. ЗАДАЧИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В этом параграфе мы рассмотрим ряд физических проблем, диализ которых
приводит к необходимости исследования систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эти проблемы будут представлены в форме,
удобной для иллюстрации численных методов исследования нелинейных систем
в гл. 5.
Системы дифференциальных уравнений мы будем записывать в виде
-§- = "(*. Р). (4-2.1)
94
Глава 4
где хе R", х = (xi, хп)-вектор переменных состояния,
а в вектор ре R' включены параметры системы. При этом решение системы
(4.2.1) определяется заданием начальных условий
х (0) = х°. (4.2.2)
4.2.1. Задача 1. Реактор проточного типа с полным перемешиванием в
случае неизотермической реакции и рецикла
Рассматриваемый реактор схематически представлен на рис. 4.3. Будем
предполагать, что реакционная смесь полностью перемешивается и что объем
реактора V, объемный расход Fo, входная концентрация сА0 и температура на
входе Г0, а также
Fo F F0
Т"о 1 сАо Tv"C'Av О V ¦О Т,сА
F - F г го
Рис. 4.3. Реактор проточного типа с перемешиванием и рециклом.
коэффициент теплопередачи U, площадь поверхности теплообмена S,
теплоемкость на единицу объема Ср и теплота реакции (-АНг) остаются
постоянными. Кроме того, мы будем предполагать, что температура
охлаждающей среды не изменяется и что в реакторе происходит практически
необратимая реакция типа А-> продукты.
С учетом этих предположений уравнения баланса массы и энтальпии можно
представить в виде
dc"
V = F [cAv - сА] - г (сА, Т) V, (Р1-1)
УСР -g- = FCP [Tv -Т] +г (сх, Т) (-Л#г) V - US (Т- Тс). (Р1-2 >
Положим A = F0/F. Тогда
Tv = АТ о + (1 - Л)Г, (Р1-3)
Cav = Лсдо + (1-А) с а- (Р1-4)
При этом реактор без рецикла соответствует случаю Л= 1.
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
95
Рассмотрим реакцию 1-го порядка, для которой г - Ыа = &ооСА exp (-Е /RT).
Определим следующие безразмерные величины: конверсию
С лп - С д
'-АО '
X
АО
температуру
е=тз(7--г0),
К1 о
число Дамкёлера
Da = кЛ, (k0 = k(T о)),
(pi-5)
параметр тепловыделения
(~АЯг)Сао _Е_
-•рТ о RT о
энергию активации
^Wo-
температуру хладагента
0с = -Л(Гс-Го),
К' о
параметр теплоотвода
о us р= гс7-
безразмерное время
t - t'F/V.
Тогда уравнения баланса массы и энтальпии переписываются в виде
_ лх + Da (1 - х)exp ( t +0Q^ ) , (Pl-6)
i(r). = _ Л0 + Da В (1 - x) exp (т+|^) - P (0 - 0C)- (Pl-7)
Уравнения (Pl-6), (Pl-7) могут быть представлены в форме
(4.2.1), где
X = (х, 0),
р = (Л, Da, у, В, р, 0С).
Обозначим через т "время задержки": т= V/F. Тогда
Da = &oT> Р=ст, где a = US/VCp. (Р1-8)
96
Глава 4
4.2.2. Задача 2. Каскад из двух неизотермических
проточных реакторов с полным перемешиванием и рециклом
Система из двух реакторов схематически представлена на рис. 4.4.
Используя те же предположения, что в задаче 1, урав-
Рис. 4.4. Два реактора проточного типа с перемешиванием и рециклом.
нения баланса массы и энтальпии в этом случае можно записать в виде
dc,.
V
А1
1 dt'
¦¦ F [cav - Cai] - Г (cai, Г,) V
(Р2-1)
V'CP чг = FCP V* - ri3 +r Л) (- АЯГ) у, - ад (г, - Tcl),
(Р2-2) (Р2-3)
dc
V2-^- = F[cKi - CA2] - r(cA2, T2)V2,
dt
V?p -f V = FCP [Г, -T2) + r (cA2, T2) (- АЯГ) У2 - U2S2 (T2 - Tc2).
(P2-4)
Введем следующие безразмерные величины: для i= 1, 2 положим
Xi =
СА0 -cAi _ Е /т -г \ a
ЬА0
, К>г = -^(Гг-Г0), р, = .
К1 О
FC"
Qa=-^2(.Tei-T0) К' о
и, кроме того, примем
(Р2-5а)
(-ДЯ r) cAn Е V. У"
B = -L_jLA0^_t 03, = ^^, Da2 = fc0^, (P2-5b)
ч-тк- *=-&-еЬ п=(1-л)гг+лг0,
Cav = (1 - Л) СА2 ЛСао-
4.2. Задачи с сосредоточенными параметрами
97
Введенные здесь переменные и параметры соответствуют безразмерным
величинам, определенным в задаче 1. Аналогичным образом мы поступили бы и
