Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 64

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 942 >> Следующая

функциями коэффициентов Фурье Q/m и варьируя эти коэффициенты, находим
6(L>==4^-6Q/m. (2.6.26)
oQjm
Из вариационного исчисления известно, что
д(ь)
dQjm
если удовлетворяются уравнения Лагранжа
d d(L) д (L)
= 0, (2.6.27)
а
О (2.6.28)
dt dq,- д*
Заметим, что (L) - чисто алгебраическая функция Qjm (и со,.). Если задано
(L), то Q/m находятся как корни системы уравнений
(2.6.27), которые определяют стационарную точку функции (L). Трудность
вычисления этих корней связана с тем, что в общем случае стационарная
точка Q не отвечает ни максимуму, ни минимуму (L), а является седловой
(см. рис. 2.14). Тип этого седла разрывно зависит от изменения Q-Im (а
также, следовательно, и от начальных значений qj и qj). Используем для
вычисления корней простой метод касательных Ньютона. Введем векторную
переменную Q, составленную из коэффициентов Q]m, и положим / = d(L)!dQ,
тогда из (2.6.27)
=0, (2,6,29)
oQ о
где Q0 - начальное приближение корней, a AQ - первая поправка.
170
Глава 2
Подставляя выражение для /, имеем
3*(L> __ д (L)
A Q
(2.6.30)

Диагонализуя матрицу кривизны дг (L)'dQ2 (см. рис. 2.14), приходим к
следующим заменам:
Q-rc,
AQ-^Ac,
д2 (L)
-^-<L)'(c0).
dQ0
(2.6.31)
Рис. 2.14. Двумерное седло.
Q - стационарная точка усредненного лагранжиана <L>. Qlt Q2 - исходные
переменные; Ci, с2 - новые переменные, в которых матрица кривизны
диагональна.
Уравнение (2.6.30) принимает вид
Хп(с0)Асп= -(L)n(c0), (2.6.32)
где п нумерует компоненты вектора с в диагонализованной системе. Среди
значений кривизны Я" (с) имеются как положительные, так и отрицательные.
Пронумеруем их в порядке возрастания от отрицательных к положительным,
при этом одно из значений Я," (с) = - 0 (см. [179]). Однако в процессе
итераций эта упорядоченность, вообще говоря, не сохраняется. Положение
можно исправить, введя в метод Ньютона корректирующую поправку
(kn-X)Ac"=-(L)n, (2.6.33)
где Я выбирается так, чтобы знак Я"-Я при итерациях не изменялся. Такой
прием обеспечивает линейную сходимость к сп. Бо-
Каноническая теория возмущений
171
лее того, когда решение с подходит достаточно близко к с, можно убрать л
и восстановить квадратичную сходимость. В качестве Я удобно выбрать Хт
(с), так как при п § т разность %п (с) - %т(с) §0 и Хт -*¦ 0 при с ->¦ с,
как и требуется для сходимости в (2.6.33). Таким образом, вместо обычных
начальных условий
<7/(0) = ?Q/m. (2.6.34а)
т
qj (0) = i(Dr У mQjm, (2.6.346)
т
мы задаем теперь значение п = т, для которого кривизна равна нулю, или
(L)m(c) = 0 (2.6.35)
для любого вектора с, что гарантирует Ят= 0 в первом порядке
по Аст.
В практических расчетах используются исходные (Q), а не диа-
гонализованные (с) переменные и конечные ряды Фурье. Были придуманы и
различные другие приемы для сокращения вычислений и ускорения сходимости;
подробности можно найти в цитированных выше оригинальных статьях.
Задача Хенона и Хейлеса. Продемонстрируем применение изложенного общего
метода к системам с двумя степенями свободы, следуя работам Баунтиса [35]
и Хеллемана и Баунтиса 1183]. Условие резонанса имеет вид
sco! - п"2 = 0, (2.6.36)
где
а = - (2.6.37)
Г
~ некоторая постоянная, а г и s - взаимно простые целые числа. Частоты to
j и со 2 теперь уже не являются независимыми, а кратны общей частоте
обращения
cor = -^i- = -(2.6.38)
Г S
Период обращения равен тг - 2я,'сог. Обозначая соответствующие частотам
cot и со2 координаты через х и у, можно представить решение в виде рядов
Фурье (2.6.24а) по каждой степени свободы:
оо ос
X{t)= 2 Aj(tm)'*, y(t)= 2 Bnein<i>r . (2.6.39)
П= - оо П- ОО
В рассматриваемом методе можно было бы задать со,, и два из четырех
начальных условий х, у, х, у, а коэффициенты Фурье Ап,
172
Глава 2
Вп и оставшиеся два условия найти путем последовательных приближений.
Поскольку, однако, для обеспечения периодичности траектории достаточно
задать только г и s, то можно фиксировать три начальных условия, а
частоту со,. и четвертое условие найти с помощью рядов. Так как главными
частотами в (2.6.39) являются, конечно, исходные частоты (2.6.36), то
можно ожидать, что главными в фурье-разложении (2.6.39) будут члены с
амплитудами А-_г и B_s. Выделение этих членов помогает достижению быстрой
сходимости решения.
Для иллюстрации метода рассмотрим, следуя Баунтису [35], потенциал Хенона
и Хейлеса, заданный выражением (1.4.4) (см. также рис. 1.11). Уравнения
Лагранжа имеют вид
х=-х-2 ху, (2.6.40а)
у = -у~гУ2-*2- (2.6,406)
Чтобы явно ввести фигурирующие в (2.6.36) частоты, перепишем эти
уравнения в форме
хтх = е [(со?-1) х-2ху], (2.6.41а)
"/ +со1г/ = е [(col- О У rtf-х2]. (2.6.416)
Правые части этих уравнений считаются в некотором смысле малыми,
на что указывает введенный малый параметр е. Уравнения
(2.6.41) эквивалентны (2.6.33) [183]. Разложим теперь коэффициенты Фурье
в (2.6.39) по степеням е:
оо оо
*0 = 2 е'' 2 Anjeinar\
j=0 П=-ОО
(2.6.42)
со оо
У(0 = 2е/ 2 В",.
/-0 П=-оо
Подставляя эти выражения в (2.6.41), получаем систему рекуррентных
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed