Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
!) Это верно, если среди чисел р, нет совпадающих. - Прим. ред.
4 М. Холодниок и др.
50
Глава 2
Пусть p(Oi_ решение уравнения (2.3.10), т. е.
p(t)=i (р (t)).
Обозначим через x(t) близкое к р(1) решение уравнения
(2.3.10). Положим х (/) = р (t) + z (t) и напишем
z(0-f(p(/) + zW)-f(p(0). (2.3.11)
Оставив в правой части (2.3.11) лишь первый (линейный) член формулы
Тейлора, мы получаем для функции z(t) дифференциальное (неавтономное)
уравнение вида
z(0 = -|r(P(0)-z(0. (2.3.12)
Это уравнение называется уравнением в вариациях для решения р(^) системы
(2.3.10) или линеаризацией системы (2.3.10) на решении р(^).
Замечание. Если p(f) является стационарным решением (т. е. его траектория
ур = {х0} представляет собой положение равновесия), то уравнение в
вариациях имеет вид
z (0 = -^ (*о) -z(0,
т. е. представляет собой систему с постоянными коэффициентами.
Важным для нас является случай, когда р(^) есть периодическое решение
системы (2.3.10). Тогда соответствующее уравнение в вариациях (2.3.12)
имеет периодическую матрицу
А(/) = -|^- (р(0), и к нему можно применить теорему Флоке.
Мультипликаторы уравнения в вариациях мы называем мультипликаторами
периодического решения р(<)-
Отметим следующий важный факт: один из мультипликаторов периодического
решения всегда равен +1. (При этом остальные мультипликаторы отвечают за
орбитальную устойчивость решения р(?).)
Чтобы это доказать, необходимо, в соответствии с п. 2.3.4, установить,
что при периодическом р(?) уравнение в вариациях (2.3.12) всегда имеет
периодическое решение.
Итак, пусть
p(0 = f(p(0)
и р(/ + Т) = р(?). Дифференцируя обе части этого тождества, мы приходим к
соотношению
rfp (t) dl
2.3. Бифуркации периодических решений
51
из которого видно, что функция
z,(0 = p(0
есть периодическое решение уравнения в вариациях.
Критерий орбитальной устойчивости периодического решения
Пусть р(?) есть периодическое решение системы (2.3.10) и р[ = 1, р2, ...,
рп - его мультипликаторы. Если |р/|< 1 при / = 2, ..., п, то решение
р.(<) является асимптотически орбитально устойчивым. 151
Замечание. Из того факта, что мультипликатор pi = 1, и из критерия
устойчивости, приведенного в конце п. 2.3.4, следует, что периодическое
решение не может быть асимптотически устойчивым по Ляпунову1). Поэтому
для периодических решений имеет смысл говорить лишь об орбитальной
устойчивости.
2.3.6. Заключительные замечания
1. На практике нахождение мультипликаторов периодического решения
проводится с помощью численных методов (см. п. 5.8.3).
2. Если мы исследуем периодическое решение 1-параметрической системы
дифференциальных уравнений
x = f(x, a), xgR", (2.3.13)
то его мультипликаторы будут функциями параметра а. Предположим, что при
а < а0 мультипликаторы р2(а)> ••¦> Рл(") лежат внутри единичного круга
(pi(a)= 1). Это означает, что периодическое решение является орбитально
устойчивым.
При изменении параметра потеря устойчивости происходит в том случае, если
один из мультипликаторов "покидает" единичный круг. В общем случае это
может произойти одним из трех способов:
(1) Один из мультипликаторов "пересекает" единичную окружность в точке
+1.
(2) Один из мультипликаторов "пересекает" единичную окружность в точке -
1.
о Невозможность асимптотической устойчивости периодического решения р (t)
автономной системы очевидна: малое возмущение, состоящее в замене р(0) на
р(б), приводит к незатухающему эффекту (р(^ + б)-р(0 не стремится к 0). -
Прим. ред.
4*
52
Глава 2
(3) Пара комплексно-сопряженных мультипликаторов "пересекает" единичную
окружность в точках е±ш, <а ф 2л/п, п = 1, 2, 3, 4.
Все эти три возможности изображены на рис. 2.30.
Можно доказать, что в случае (1) происходит бифуркация рождения или
исчезновения пары периодических решений
Рис. 2.30. Мультипликаторы в комплексной плоскости как функции
параметров.
(см. рис. 2.22). В случае (2) имеет место бифуркация удвоения периода
(см. рис. 2.23), а в случае (3) возникает инвариантный тор (см. рис.
2.24).
Замечание. В случае, когда система (2.3.13) обладает некоторой симметрией
g и мы следим за g-симметричным решением, при условии типа (1) может
произойти бифуркация с потерей симметрии (см. рис. 2.25).
2.4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА ТРАЕКТОРИЙ
2.4.1. Гетероклинические и гомоклинические траектории
Под гетероклинической траекторией системы х = f (х) мы понимаем
траекторию, которая "выходит" из одного состояния равновесия Хо и
"входит" в другое состояние равновесия системы Xi (см. рис. 2.31). Точнее
говоря, если существует точка z е R", такая, что для решения <рг(/)
системы x = f(x) имеют
2.3. Бифуркации периодических решений
53
место соотношения
lim (fz(t) - х0 и lim <jpz(0 = Х[, (2.4.1)
t-> - оо ? -> оо
то траектория этого решения называется гетероклинической.
Замечание. На рис. 2.31 изображены три траектории: у(х0) = = {х0}-
одноточечная, y(xi)={xi}-также одноточечная и у (z) - гетероклиническая.
Рис. 2.31. Гетероклиническая траек- Рис. 2.32. Гомоклиническая
