Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 636

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 630 631 632 633 634 635 < 636 > 637 638 639 640 641 642 .. 942 >> Следующая

траекторией уравнения (2.2.15).
В частности, это утверждение справедливо и для положений равновесия. В
этом, собственно, и заключается сущность бифуркации типа вилки, описанной
в примере 2.8: с отщеплением состояния равновесия х=д/сГ от нулевого
состояния равновесия появляется также симметричное ему положение
равновесия
g(Va ) = - д/a.
Решение g-инвариантного дифференциального уравнения, траектория которого
у удовлетворяет соотношению
g (Y) = Y,
называется симметричным решением.
В примере 2.8 симметричным решением является стационарное решение,
соответствующее нулевому положению равновесия (x(t) = 0).
Обратимся вновь к рис. 2.20. Если двигаться в направлении возрастания
параметра а, то в точке а = 0 происходит каче-
*> Менее формальное определение. Уравнение х = f (х) g-инвариантно, если
при замене переменных у = g (х) оно не изменяется (т. е. получается
У = f (у)). В частности, если х - q>(t)-решение, то x = g(<p(/))-тоже
решение. - Прим. ред.
2.3. Бифуркации периодических решений
39
ственное изменение характера симметрии стационарных решений. При а < 0
устойчивое стационарное решение является ^¦-симметричным, в то время как
при а > О соответствующее устойчивое стационарное решение этим свойством
уже не обладает.
Таким образом, речь здесь идет о потере симметрии устойчивых решений при
бифуркации (английский термин "symmetry breaking"). Это явление
возникает, к примеру, в хорошо известной модели Лоренца (см. задачу 10).
Уравнения Лоренца
!х = а{у - х),
У = -У + гх - xz, z - -bz + ху
как легко проверить, инвариантны по отношению к линейному отображению I2
'
g(x, у, г) = (-х, -у, г).
2.3. БИФУРКАЦИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ
В этом параграфе мы познакомимся с основными типами бифуркаций
периодических решений систем дифференциальных уравнений; траектории этих
решений - замкнутые кривые.
Изложение будет вестись последовательно на трех уровнях. В п. 2.3.1 мы на
иллюстративном материале познакомимся с отдельными видами бифуркаций. В
п. 2.3.2 для описания этих
40
Глава 2
бифуркаций мы используем отображение Пуанкаре, которое будет применяться
также во многих случаях в главах 5 и 6. Наконец, в п. 2.3.3 и в
последующих пунктах мы рассмотрим теоретическую аргументацию, на которой
основаны численные методы исследования устойчивости периодических
решений.
Замечание. Как и в случае положений равновесия, изменение характера
устойчивости замкнутой траектории сопровождается бифуркацией. Строгое
определение (орбитальной) устойчивости замкнутой траектории будет
приведено в п. 2.3.3.
Пока же достаточно понимать, что замкнутая траектория у является
устойчивой, если все траектории, достаточно близкие к траектории у, с
возрастанием времени неограниченно приближаются к ней (см. рис. 2.21).
2.3.1. Основные типы бифуркаций периодических решений131
Рассмотрим 1-параметрическую систему дифференциальных уравнений
x = f(x, а), а<= R, xgR", (2.3.1)
которая при определенных значениях параметра а имеет замкнутую траекторию
yi. В общем случае изменение значений параметра может послужить причиной
одной из следующих бифуркаций.
Рис. 2.22. Бифуркация рождения-исчезновения пары замкнутых траекторий.
(I). В фазовом пространстве системы (2.3.1) существует пара замкнутых
траекторий уь у2, которые при изменении (например, при возрастании)
параметра а сближаются друг с другом, при бифуркационном значении
параметра а = а* сливаются вместе, а при дальнейшем изменении параметра
исчезают (см. рис. 2.22). Если двигаться по рис. 2.22 справа налево, т.
е. в направлении убывания параметра, то описываемая бифуркация
представляется нам так, что при а = сс* возникает
2.3. Бифуркации периодических решений
41
замкнутая траектория, которая при а < а* расщепляется на две замкнутые
траектории. Поскольку при этой бифуркации возникает или исчезает пара
замкнутых траекторий, ее называют иногда бифуркацией возникновения или
исчезновения пары замкнутых траекторий.
(II). Бифуркация удвоения периода.
Этот тип бифуркации изображен на рис. 2.23. Здесь существует
"первоначальная" замкнутая траектория при значениях
izr
- 7,
1 г
а. >сх
Рис. 2.23. Бифуркацы удвоения периода.
параметра а, располагающихся по обе стороны бифуркационного значения а*.
На рис. 2.23 схематически изображена ситуация, когда первоначально
устойчивая замкнутая траектория уц-при переходе а через а* становится
неустойчивой и от нее ответвляется замкнутая траектория угг. которая
замыкается после двойного обхода вокруг траектории yir. Новая траектория
имеет почти такую же "амплитуду", но приблизительно двойной период
(асимптотически, при а->о*, точно двойной период) - отсюда и название
бифуркации.
(III). Возникновение инвариантного тора
Ход событий для этой бифуркации изображен на рис. 2.24. В данном случае
от замкнутой траектории, которая становится неустойчивой при изменении
параметра, отделяется тор, заполненный траекториями системы (2.3.1).
Дальнейшее "разбухание" тора можно сравнить с накачкой автомобильной
Предыдущая << 1 .. 630 631 632 633 634 635 < 636 > 637 638 639 640 641 642 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed