Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
говорят, что в этом случае происходит мягкая потеря устойчивости
положения равновесия. Здесь система под действием постоянно
присутствующих малых возмущений переходит сначала из неустойчивого
состояния равновесия на "малую" устойчивую периодическую траекторию, так
что изменение поведения системы оказывается постепенным, "мягким". Другая
возможность изображена на рис. 2.18. Здесь с возрастанием параметра
область притяжения устойчивого фокуса (и амплитуда неустойчивого
периодического решения) уменьшается, и при исчезновении периодической
траектории положение равновесия становится неустойчивым. Из него система
под действием малого возмущения переходит в некоторый более отдаленный
стационарный режим (часто - периодический) и, следовательно,
2.2. Бифуркации положений равновесия
35
".<=0
С*. = 0
оь>0
Рис. 2.16. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай мягкой потери устойчивости)
.
Рис. 2.17. Бифуркация Андронова-Хопфа: временная зависимость для одной
Из переменных.
Рис. 2.18. Бифуркация Андронова-Хопфа (случай жесткой потери
устойчивости) .
36
Глава 2
при малом изменении параметра (в окрестности его бифуркационного
значения) происходит сильное изменение состояния системы. Это явление
называется жесткой потерей устойчивости.
Достаточные условия возникновения бифуркации Андронова-Хопфа в 1-
параметрической я-мерной системе дифференциальных уравнений даются
следующей теоремой.
Теорема (Хопфа). Пусть система
x = f(x, a), xeR", aeR1 (2.2.13)
имеет положение равновесия х = 0 при любых значениях параметра а. Далее,
пусть матрица линеаризации при значениях a в некоторой окрестности ссо
имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел Ап, 2(a) =g(a)
±г<о(а), причем
? (а0) = 0, со (а0) = <й0 > 0, (do) ф 0.
Кроме того, предположим, что остальные п - 2 собственных чисел имеют
ненулевые вещественные части.
Тогда при a = a0 от нулевого положения равновесия ответвляется
однопараметрическая система замкнутых траекторий, отвечающих
периодическим решениям периода Т(а) да 2я/<Оо, (7(а)-"-2я/(c)о при сс-"-ао.
- Ред.). Замкнутые траектории могут ответвляться либо при a С ао, либо
при а > ссо.
2.2.3. Бифуркации при наличии симметрии
Если дифференциальные уравнения описывают реальный процесс, обладающий
некой симметрией, то эта симметрия проявится в дифференциальных
уравнениях и тем самым окажет влияние на бифуркации.
Пример 2.8. Рассмотрим 1-параметрическое дифференциальное уравнение
x = f(x, a),
правая часть которого удовлетворяет соотношению f(-х, а) = = -f(x, а), т.
е. функция f является нечетной по переменной х. Чтобы понять, что дает
такой вид симметрии, выберем простейший вид f, f(x,a) = ax - х3, и
исследуем бифуркационные явления в полученном уравнении
х = ах-х3. (2.2.14)
Положение равновесия найдем, решая уравнение
ах - х3 = 0,
2.2. Бифуркации положений равновесия
37
т. е. х(1> = 0 - состояние равновесия при любыха^Р и х2'3= = ± Va ПРИ сс
> 0. Таким образом, уравнение (2.2.14) при а^О имеет одно устойчивое
положение равновесия *1=0. При a > 0 это состояние равновесия становится
неустойчивым, и от него ответвляются два устойчивых состояния равновесия
х№ = д/a, х(3) = - д/а. Соответствующие портреты показаны на
cx<Q oc=Q сс>0
Рис. 2.19. Фазовые портреты уравнения (2.2.14).
рис. 2.19, а диаграмма стационарных решений уравнения (2.2.14)
представлена на рис. 2.20. Учитывая форму этой диаграммы, описанную
бифуркацию называют иногда бифуркацией типа вилки. Случай, описанный в
примере 2.8, можно
Рис. 2.20. Диаграмма стационарных решений - бифуркация типа "вилка".
включить в более общее рассмотрение дифференциальных уравнений с
симметрией. Дадим формальное определение.
Рассмотрим векторное дифференциальное уравнение (систему)
х = f (х), x6=Rre (2.2.15)
и пусть <р(^, х) - его фазовый поток. Если существует
диффеоморфизм g:Rre-"Rre, такой, что для всех xeR" имеет место
соотношение
f(g(x)) = ^f(x), (2.2.16)
38
Глава 2
то мы говорим, что дифференциальное уравнение (2.2.15) инвариантно по
отношению к диффеоморфизму g или, кратко, g-инвариантно. Диффеоморфизм g
мы называем симметрией уравнения (2.2.15), а о самом дифференциальном
уравнении говорим как о дифференциальном уравнении с симметрией!).
Если теперь мы имеем ^-параметрическую систему дифференциальных уравнений
x = f(x, a), xeRn, ckeeR*, (2.2.17)
g-инвариантную для каждого а, то мы говорим, что система (2.2.17)
представляет собой ^-параметрическую систему дифференциальных уравнений с
симметрией g.
Пример 2.9. Рассмотрим 1-параметрическую систему (2.2.17) при п- 1
и положим g(x) --х. Формула (2.2.16) в этом
случае принимает вид /(-х, а) - -f(x, а). Уравнение х =
= f[x, а) g-инвариантно, если функция f(x, а) нечетна по переменной х
(ср. с примером 2.8).
Для фазового потока <р уравнения (2.2.15) с симметрией g при любых /eR и
jeeR" имеет место соотношение
<Р(*. g to) = g (<Р (/. х)). (2.2.18)
Следствие из формулы (2.2.18):
Если у есть траектория уравнения (2.2.15), то g(y) также является
