Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 634

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 628 629 630 631 632 633 < 634 > 635 636 637 638 639 640 .. 942 >> Следующая

то в этом случае у нас внезапно появляется одно устойчивое состояние
равновесия системы. Замечание 2.3. Линеаризуя уравнение (2.2.1) в
окрестности
положений равновесия х1(а)== -Vl"l и х2 (а)= + Vlа I > по-лучаем
± = -2^\а\г и ( z = 2 Vla|z. (2.2.2)
Поскольку уравнение (2.2.1) является одномерным, обе матрицы линеаризации
имеют порядок 1 и их собственные числа равны соответственно ^ (a) = -2 VI
a I и ^2 (a) = 2 Vl a I > причем lim A,(a)= lim A2(a) = 0. (2.2.3)
a-"- -0 a-> -0
Матрица линеаризации в состоянии равновесия х = 0 (соответствующем
бифуркационному значению параметра а = 0) имеет нулевое собственное
число.
32
Глава 2
В общем, л-мерном случае, если для некоторого положения равновесия
матрица линеаризации имеет одно собственное число, равное нулю,
бифуркация происходит аналогично: при изменении параметра положение
равновесия либо исчезает, либо расщепляется на два новых положения
равновесия. Можно доказать, что это утверждение справедливо для "почти
всех" 1-па-раметрических систем дифференциальных уравнений с л-мер-ным
фазовым пространством.
Рис. 2.15. Бифуркация типа "седло - узел" для 1-параметрической системы
*1 = А. + "¦ -*2 - - х2.
На рис. 2.15 изображена бифуркация типа "седло-узел" для двумерного
случая. Из рис. 2.15 видно, что при а С 0 система имеет два положения
равновесия, одно из которых есть седло, а другое - узел. Эти точки при
сс->--0 приближаются друг к другу и при а = 0 сливаются вместе в так
называемое "седло-узел". Отсюда и возникло название "бифуркация типа
седло-узел".
2.2.2. Бифуркации Андронова - Хопфа
Начнем снова с простейшего примера-рассмотрим бифуркацию положения
равновесия для следующей 1-параметрической системы двух дифференциальных
уравнений:
х, - ах{ х2 х{ (х\ + х?), = -jj ,
*2= х\ + "*2- х2 {х\ + х1)- (2.2.4)
Система (2.2.4) имеет положение равновесия х = (0,0) при любых значениях
параметра а. Исследуем его устойчивость при различных значениях aeR.
2.2. Бифуркации положений равновесия
33
Матрица линеаризованной системы в точке х = (0, 0.}. имеет
вид
Следовательно, при а <С 0 состояние равновесия х =(0,0) представляет
собой устойчивый фокус, а при сс>0 - неустойчивый фокус. При а = 0
собственные числа располагаются на мнимой оси, и об устойчивости
состояния равновесия нельзя судить по линеаризованной системе.
Для исследования фазового портрета системы (2.2.4) удобно преобразовать
ее к полярным координатам. Положим
и продифференцируем левые и правые части соотношений (2.2.7) по времени,
считая переменные г и <р функциями t. Мы получим
После подстановки в уравнения (2.2.4) и простых преобразований получаем
систему
Из второго уравнения следует, что переменная ф играет роль времени (ф =
/+/0) и что наиболее существенная информация о структуре траекторий
содержится в уравнении (2.2.9).
Положения равновесия уравнения (2.2.9) суть решения уравнения
Таким образом, одно положение равновесия ri=0 существует при любых
значениях параметра а. При а ^ 0 других положений равновесия нет.
При а > 0 уравнение (2.2.9) имеет еще одно состояние рав-
Положение равновесия г\ =0 уравнения (2.2.9) отвечает положению
равновесия х = (0, 0) системы (2.2.4), тогда как по-
(2.2.5)
она имеет комплексные собственные числа
А-1,2 (а) = а ± г.
(2.2.6)
Ху = г cos ф, х2 = г sin ф
(2.2.7)
Ху - Г COS ф - Гф Sin ф, Х2 = Г sin ф + гф COS ф.
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
г (а - г2) = 0; г> 0.
(2.2.11)
новесия г2 - д/а , которое является устойчивым.
ложение равновесия г2= д/а соответствует устойчивой замкну-
3 М. Холодниок и др.
34
Глава 2
той траектории системы (2.2.4), а именно окружности радиуса Va-
Таким образом, при переходе параметра а через нуль слева направо
устойчивый фокус становится неустойчивым, и от него отделяется замкнутая
траектория, диаметр которой растет пропорционально величине л/а.
Такое явление называется бифуркацией Андронова-Хопфа (или бифуркацией
рождения цикла); схема его изображена на рис. 2.16.
Бифуркация Андронова-Хопфа устанавливает связь между потерей устойчивости
положений равновесия и возникновением периодических решений в системах
дифференциальных уравнений.
В реальных системах бифуркация Андронова-Хопфа возникает довольно часто.
В приложениях удобно наглядно представлять бифуркацию Андронова-Хопфа,
изображая графически зависимость отдельных фазовых переменных от времени
(см. рис. 2.17, который соответствует рис. 2.16). В экспериментах при
значениях параметра, близких к критическому, возникающее периодическое
решение мало отличается от стационарного решения, поскольку его амплитуда
очень мала и ,может теряться в экспериментальном шуме.
Пример 2.7. Процесс бифуркации для 1-параметрической системы
дифференциальных уравнений вида
х. = ах - х2 + Xj (х\ + X*),
j . /2 1 24 (2.2.12)
x2 = xl+ax2+x2(x2l + xl)
изображен на рис. 2.18. Возникающая здесь замкнутая траектория является
неустойчивой.
Про бифуркацию Андронова-Хопфа, происходящую по сценарию рис. 2.16,
Предыдущая << 1 .. 628 629 630 631 632 633 < 634 > 635 636 637 638 639 640 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed