Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
¦было известно решение вида (2.1.7), нет оснований предполагать, что
значения q>(t,хо) (при известном х<>) будут точно соответствовать
измеренным значениям. От математической модели разумно ожидать прежде
всего качественного совпадения с поведением реальной системы; в
частности, разумно требовать, чтобы обе системы обладали одним и тем же
числом состояний равновесия, периодических решений и т. п.
Для этой цели нам достаточно знать фазовый портрет соответствующей
математической модели, который находится обычно с помощью численных
методов (см. § 5.7) Д
Приведем теперь несколько типичных примеров фазовых портретов для случаев
п = 1 и п = 2.
Рассмотрим одно дифференциальное уравнение
* = /(*), (2.1.8)
где xeR. Фазовое пространство этого уравнения представляет собой прямую.
Траекториями уравнения (2.1.8) могут быть:
a) положения равновесия, т. е. одноточечные траектории (состоящие из
одной точки);
b) отрезки2), концевые точки которых представляют собой положения
равновесия;
c) полупрямые, "ограниченные" состоянием равновесия с одной стороны и
"точкой" +оо или -оо с другой.
Направление прохождения траектории определяется знаком •функции f
следующим образом:
Если f(x)> 0, то фазовая точка пробегает траекторию слева направо, если
же f (х) < 0, то справа налево.
Пример 2.1. Фазовые портреты дифференциальных уравнений
х = х2 и х = х3
изображены на рис. 2.1 и 2.2 вместе с графиками правых частей 3>.
*> Это слишком сильное утверждение (например, всегда интересны периоды
периодических решений). - Прим. ред.
2) Точнее, интервалы.
3> Стрелки на всех рисунках показывают направление движения фазовой точки
при возрастании t. - Прим. ред.
2.1. Введение
2&
I
I
I
* > >
х
Рис. 2.1. Фазовый портрет уравнения х = х2.
Рис. 2.2. Фазовый портрет уравнения х = х3.
24
Глава 2
Пример 2.2. Фазовый портрет дифференциального уравнения
х=±(х2-1) (2.1.9)
представлен на рис. 2.3. Положения равновесия уравнения
'{2.1.9) суть корни алгебраического уравнения х2-1=0, т. е. точки х<1)
=*-1, = +1.
Из рисунка видно, что состояние равновесия х^1) является устойчивым, а
состояние равновесия х(2)- неустойчивым.
2.1. Введение
25-
Рис. 2.6. *, = *,, х2 - х\.
Рис. 2.7. хх=х\, x% = xv.
26
Глава 2
Пример 2.3. Фазовый портрет уравнения
x=sinx (2.1.10)
вместе с графиком функции sinx представлен на рис. 2.4.
Рис. 2.8. X[=Xj, х2 = х2 (2*! - х2). Рис. 2.9. Xj = - х,х2, х2 = х\ + х\.
Пример 2.4. На рис. 2.5.-2.10 изображены фазовые портреты различных
двумерных (линейных и нелинейных) систем ОДУ.
2.1. Введение
2.1.2. Структурная устойчивость и бифуркация
Еще одна важная особенность анализа математических моделей реальных
систем заключается в следующем. Исследуемый реальный процесс протекает
обычно при определенных, внешних условиях, которые в общем случае можно
характеризовать определенными значениями параметров системы. Эти
параметры входят также и в соответствующую систему дифференциальных
уравнений. Таким образом, математическая модель, принимает вид
x = f(x, а), (2.1.11)
где х = (xj, ..., х") е= Rre - вектор переменных состояния (фазовых
переменных) и а = (аь ..., ak) е= R* - вектор параметров системы.
Параметры системы в ходе процесса изменяются в некотором, обычно очень
малом диапазоне, с тем чтобы не вызвать качественных изменений поведения
исследуемой системы. (Здесь имеются в виду искусственно управляемые
процессы. - Ред.) По отношению к этим малым изменениям (возмущениям)
система является устойчивой.
Точно так же должна быть устойчивой относительно малых изменений
параметров и соответствующая система ОДУ (2.1.11). Поясним теперь более
подробно, что мы понимаем под устойчивостью, точнее под структурной
устойчивостью дифференциального уравнения.
Если в уравнении (2.1.11) немного изменить параметр а, то-немного
изменится и векторное поле f. Если это малое изменение правой части не
оказывает существенного влияния на фазовый портрет дифференциального
уравнения (2.1.11) (новый-фазовый портрет качественно не отличается от
исходного), то мы говорим, что данное дифференциальное уравнение
структурно устойчиво.
Два фазовых портрета мы называем качественно одинаковыми, если существует
взаимно однозначное отображение одного фазового портрета (ф.п.) на
другой, которое переводит траектории первого фазового портрета в
траектории второго фазового портрета при сохранении направления их
обхода.
В частности, одноточечным траекториям первого ф.п. соответствуют
одноточечные траектории второго ф.п., замкнутым траекториям соответствуют
замкнутые траектории, гомоклини-ческим - гомоклинические и т. д.
28
Глава 2
Относительно дифференциальных уравнений, которые обладают качественно
одинаковыми фазовыми портретами, мы говорим, что они качественно
эквивалентны Д
Обратимся вновь к уравнению (2.1.11). Если изменять параметр а в большом
диапазоне, может случиться, что произойдет качественное изменение
соответствующего фазового портрета. Такое качественное изменение мы
