Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще говоря, /"//'- 1, так что ошибка уменьшается квадратично на каждом
шаге. Однако, если
/"//' - е-1, (2.6.10)
[это соответствует резонансу вблизи разыскиваемого значения корня, f (х)
(х-лу)-1; лгг~лг0], то и тогда квадратичная сходимость оказывается
сильнее 4). Аналогично сверхсходящееся разложение в теории КАМ также
подавляет действие малых резонансных знаменателей.
Сверхсходящиеся разложения не нашли пока широкого применения в
практических расчетах. Как мы увидим ниже, соответствующие вычисления
оказываются при этом слишком громоздкими. Чириков [70 ] демонстрирует
сверхсходимость на примере маятника, используя производящую функцию от
смешанного набора переменных. Однако более естественно применить
сверхсходимость в сочетании с преобразованиями Ли. Для автономных систем
это впервые было сделано Хаулэндом [203 ]. Мы рассмотрим эту технику в п.
2.6а, следуя Кари [49 ], метод которого применим также и для неавтономных
систем. В работе Мак-Намары [290] кратко обсуждается возможность
использования сверхсходящихся преоб-
*) Фактически для сходимости требуется, чтобы f"/f'~ е т; т < 1 (е -" 0);
похожее условие возникает и при доказательстве теоремы КАМ (см. п. 3.2а).
Каноническая теория возмущений
165
разований Ли для вычисления интегралов движения вблизи резонансов.
Получение приближенных решений для систем, близких к интегрируемым, тесно
связано с отысканием периодических решений в таких системах. Последние
важны, поскольку они образуют плотное множество и позволяют анализировать
близкие решения с помощью линейной теории (см. § 3.3). Хеллеман, Эминицер
и др. [116] разработали в последнее время весьма эффективные
сверхсходящиеся методы нахождения периодических решений. Эти методы
описываются в п. 2.66 и иллюстрируются на примере задачи Хенона-Хейлеса.
2.6а. Метод Колмогорова
Следуя Кари [49], рассмотрим гамильтониан
оо
Н = 2 епЯ" (х, 0, (2.6.11)
п =0
где #0 - интегрируемая часть, а вектор х - (J, 0) означает переменные
действия - угол для Я0. Введем последовательные преобразования Ли,
приводящие к последовательности новых гамильтонианов, занумерованных с
помощью верхнего индекса. Используя метод Депри (п. 2.56), начнем с
уравнений (2.5.31) для первой производящей функции Ли ш(1):
М] = Н0, (2.6.12а)
D0w[l) = H[[)-Hlt (2.6.126)
bQw(2') = 2{H(2l)-H2) - [w\l), {нР + Н^]. (2.6.12b)
Обычно эти уравнения интегрируются одно за другим. В каждом порядке новый
гамильтониан НР выбирается так, чтобы исключить секулярность в w(P, после
чего определяется сама функция wp~ Затем wp подставляется в следующее
уравнение и весь процесс повторяется. Интегрирование каждого из уравнений
есть единичный "шаг" процедуры, и после п таких шагов мы получаем новый
гамильтониан Я, зависящий с точностью порядка е" только от переменной
действия J.
В методе Колмогорова гамильтонианы и производящие функции выбирают иначе.
Основное правило состоит в том, что одновременно решаются все те
уравнения, правые части которых не содержат Wi. При этом, как и
прежде, Hi выбирается таким образом,
чтобы устранить секулярности в W[. Во всех оставшихся уравнениях Wj (/>i)
полагаются равными нулю, после чего из них определяются Я/. Выполнение
всей этой процедуры является единич. ным "шагом" разложения.
166
Глава 2
На первом шаге мы можем "одновременно" решить только одно уравнение, а
именно (2.6.126). Полагая Н\1) = (Ях), находим w\{) из уравнения
60ш)1) = - {Hj.}. (2.6.13)
Гамильтониан Н{2] определяется из (2.6.12в) при = 0 и т. д. Нельзя
одновременно *) с а;!1' найти, например, w^\ так как в уравнение
(2.6.12в) входит неизвестная еще функция да!1*.
Приступая ко второму шагу, вводим новый "старый гамильтониан"
оо
ЯП) = 2 епН1п\ (2.6.14)
п -О
в котором
Я^ = Я{,1) -J-еЯ}1*, (2.6,15а)
Я(11) = 0, (2.6.156)
Я}и = яР, />1. (2.6.15b)
Таким образом, в новом невозмущенном гамильтониане полностью учтено
решение, полученное на предыдущем шаге. Поскольку возмущение не содержит
теперь члена первого порядка, то Н\2) -- 0; ш)2> = 0 и Яо2> -- Но \
Система уравнений Депри принимает вид
?>{,' У>2) = 2 (Hf> - Н{2>), (2.6.16а)
Wwf' = 3 (Hf} - Н(Ли 1, (2.6.166)
dW = 4(r)2' - я)!)) - [У2), яг уя[1}], (2.6.16b)
где
, Я^>] (2.6.17)
- полная производная по времени вдоль траекторий первого порядка исходной
системы. Теперь мы можем одновременно решить два первых уравнения
(2.6.16а) и (2.6.166), устраняя секулярности в wf и Шз2> выбором Н(2) и
Яз2) соответственно. В остальных урав-
*) То есть на этом же шаге; если же мы сначала найдем из (2.6.13), а
затем подставим его в (2.6.12в), то вернемся к обычной теории
возмущений.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
167
нениях полагаем w(2) = 0 и используем их для определения Hf\ />3. В
результате находим новый гамильтониан
Я(2) = - е4# f Ч e5tf f(2.6.18)
где
Hf> = Н(02) + г2Щ] + е3Яз2), (2.6.19)
Я}2) = Я}2), />3, (2.6.20)
причем Яо-) является функцией только переменных действия, а возмущение не
