Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
конфигурации.
В векторном базисе собственных направлений меры Фингера компоненты
тензора упругостей вычисляются по формулам (8.6) - (8.8); их содержание
разъясняется представлениями (8.9) - (8.10) через главные напряжения.
Уравнения равновесия, выраженные через вектор места в актуальной
конфигурации ("уравнения в перемещениях"), представлены в § 10 в
различных видах, наиболее простой-¦ (10.3). Это - система уравнений в
частных производных сложной структуры линейных относительно старших
(вторых) производных вектора места. Понятие об эллиптичности (§11)
связывается со свойствами гладкости решений. Особенностей их следует
ожидать вне некоторой области параметров, определяющих деформацию. См.
работы
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
499
4.2. Knowles J. К.. Sternberg Е. On the ellipticity of the equations of
nonlinear elasiostatics for a special material.- J. Elasticity, 1975, v.
5, ,№3-4.
4.3. Knowles J. K., Sternberg E. Ori the failure of ellipticity of the
equations for finite elastostaii> plane strain.- Arch. Rational Mech. and
Anal., 1977, v. 63. Ah 4.
Признак сильной эллиптична сти формулируется в неравенствах (11.6),
(11.8). Он сюдг'м к требованию сп >еделсиной положительности
акустического тензора
(11.14). Общее представление этого тензора и специализация для некоторых
задании удельной потенциальной энергии деформации даны в работе
4.4. Л у р I. е А. П. Критерий эллиптичности уравнений равновесия
нелинейной теории упругости.- Механика твердого тела, 1979, ЛЬ 2, с. 213-
234. Представление акустического тензора в триэдре главных направлений
меры Фингера приводится в (12.9), (12.10); см. также [5].
В ;?§ 13-14 описываются формулировки и приемы решения краевых задач
статики нелинейной теории упругости, поясняется понятие "универсальных
решений". Формулируется теорема Эриксена об их несуществовании при
неаффинных преобразованиях
4.5. Ericksen J. К. Deformations possible in every compressible
isotropic,
perfectly elastic materials.- J. Math. Phys., 1255, v. 34, p. 126-
128
и приводится ее доказательство, предложенное Шилдом.
4.6. Shield R. Т. Deformations possible in every compressible,
isotropic,
perfectly clastic material.- J. Elasticity, 1971. v. 1, Ab 1.
Вариационные принципы рассматриваются в §§ 16-19. Они полно представлены
(семь формулировок) в работе
4.7. Зубов Л. М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости.-
Прикл. матем. и мех., 1971, т. 35, ЛЬ 5.
Особый интерес представляет принцип стационарности дополнительной работы,
поскольку оказалось возможным выразить его через функционал, не
содержащий определяемых по мерам деформации величин. См.
4.8. Зубов Л. М. Принцип стационарности дополнительной работы в
нелинейной теории упругости.- Прикл. матем. и мех., 1970, т. 34, № 2.
Эта работа вызвала отклики в статьях
4.9. Koiter W. Т. On the principle of stationary complementary energy in
the nonlinear theory of elasticity.- SIAM J. Appl. Math., 1973, v. 25, Ah
3.
4.10. Koiter W. T. On the complementary energy theorem in non-linear
elasticity theory.- Technische Hogesschool Delft, 1975, № 72.
4.11. С h r i s t о f f e r s e n J. Oil Zubov's principle of stationary
complementary energy and a related principle.- Danish Center for Applied
Math, and Mech., 1973, Rep. 44
(принцип применен к анизотропному телу).
Неоднозначность представления градиента места через тензор Пиола, на что
обращалось внимание в [4.9] - [4.11], проанализирована в статье
4.12. Зубов Л. М. О представлении градиента перемещения изотропного
упругого тела через тензор Пиола.- Прикл. матем. и мех., 1967, т. 40, №
6.
К ГЛАВЕ 5
Уравнение состояния приобретает конкретное содержание после того, как
принято то или иное представление удельной потенциальной энергии через
инварианты мер деформации.
Не приводит к цели предложенная Сетхом замена в законе Гука линейного
тензора деформации тензором конечной деформации - условия существования
удельной потенциальной энергии оказывается невыполненными.
5.1. Seth В. R. Finite strain in elastic problems.- Phil. Trans. Roy
Soc. London, 1935, v. A234, p. 231-264.
500
ЛИТЕРАТУРА И БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Общее представление квадратичного закона зависимости тензора напряжений
от тензора деформации содержится в уравнении состояния Синьорини
(2.9), согласующемся с существованием удельной потенциальной энергии.
5.2. Signor ini A. Transformazioni termoelastiche finite.- Mem. la. Ann.
di Mat. (4), 1943, v. 22, p. 33-143; Mem. 2a. Ann. di Mat. Pura Appl.
(4),
¦ 1949, v. 30, p. 1-72.
См. также [8] и работу
5.3. ЗволинскийН. В., Риз П. М. О некоторых задачах нелинейной теории
упругости.-Прикл. мат. и мех., 1939, т. 2, № 4.
Мурнаган предложил исходить из полиномиального представления удельной
потенциальной энергии деформации (3.1) или (3.2). Работы Мурнагана
объединены в монографии
5.4. Murnaghan F. D. Finite deformation of an elastic solid.- Second
Edition, N. Y., 1967.
Постоянные закона Мурнагана третьего порядка (I, т, п) определяются в
