Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
3. Геометрия в окрестности поверхности. Вектор-радиус г точки в
евклидовом пространстве $3 в окрестности поверхности представляется
выражением
г=Р-Ьп?.
(16)
Здесь q3 = t-третья координата, отсчитываемая по нормали к поверхности.
Базисные векторы, ковариантные компоненты метрического тензора и их
определитель определяются формулами
Га = ра -{- ?па = Ра-&аРу , Г3=П, (17)
?аР = асф - 2^йар -|- g з = ра'П = 0, ?33= 1, (18)
g = giig22 - gli, Vg=(riXr2)-n -= У~а(\- 2Н1+ Kl2) (19)
- были использованы соотношения (7), (10), (11), (12),
Контравариантные компоненты метрического тензора при сохранении лишь
линейных по ? слагаемых определяются выражениями
gaP = a"P-f2 ?6(r)P, (20)
что легко проверить непосредственным вычислением
ga$g^ = (°аР - 2?Ьар) (aPv-)-2?bPl') = 5а-)-2? (aaj$bfiv '-Рт^аР) = 6^,
как и требуется. Векторы взаимного базиса в этом приближении, набла-опе-
ратор и метрический тензор определяются теперь формулами
r" = g"Prp =Р" + ?*ррР,
г3 = п, 3 ,
? = г"^+"| = (Ра + ^РР%а
(21)
'I' <*>
Е = rar" + nn = papa + t (брРарР + 6"pppa) -f nn = E2 + 2^B + nn. (23)
Эти формулы позволяют сформулировать правила вычислений дифференциальных
операций с точностью до линейных по t слагаемых над тензорами, заданными
в <?3 в окрестности рассматриваемой "опорной" поверхности. В частности,
при ?=0 они определяют величины по самой поверхности. Приведем здесь
пример тензора (у?ф)^= о. Имеем
(т);=о = Г (
гР
Зф , Зф
з^р + п
-}-(ran+nv")
32Ф
Z=o ЗгР Зф
гагР
32Ф
dt,dqa dt
32ф
ппЛ72+гаХ^лЖ+гап
dqa dqb
Зф , ЗгР Зф
1-Li.n , ... -i-
dt dt
и по (17), (21) VV (ф)^= о
рарР
д2Ф | V I ^Фь R^P 14-
dqadqР (а|3 f dqf dt
+(p"n-f пр")
dqadt
В предположении, что функции
Зф
ф' Щ*'
bZj&Y
32ф
?=о
(24)
S=o
§ 11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 493
непрерывно дифференцируемы по координатам qa опорной поверхности *)
Л*],..-* [j&L.-*
получаем
пп [1г?]?=0^ nn(vv<p)E=o . f|l]E=0^n-^V9lE = o-n- (26)
4. Формулы Гаусса, формулы Кодацци. Вторые производные вектор-радиуса
г в окрестности поверхности, вычисляемые по (17) и (14), определяются
формулами
raP = 'Qqft (Ра -S^aPy) = j" Ру + bapn- t, ^ 6^ j ^ | P6 + fea&ypn-f-
+ р6Щ$ *") = ({ofp}"" {pv}dgfi *") Рб + ", (27)
гза = n"= - baPy, Гзз = 0. (28)
Использование формул (10.15) для представления компонент тензора кривизны
(равных в $3 нулю) приводит к громоздким выкладкам, Следует предпочесть
непосредственное рассмотрение условий интегрируемости системы уравнений
(10.10), приводимых здесь к виду
К = raPrf7P + rapC *3 = re,d<?" + г3Л = пи dqa. _(29)
Интегрируемость второй группы очевидна: г3 = п. Первая группа распадается
на две системы уравнений
а)
^ггаР ^'газ
* а * ^ а <*"
" ?3>_% (tm) =
дЯу dt76 &Q dqx
Уравнения (30 а) выполняются тождественно. Это легко проверяется по
формулам (27), (28), (14) и (11). Уравнения (306) будут нас интересовать
на самой опорной поверхности
(w~w)z=o ШРб + 6"2") ~д?(("1}Рб +ь^п ) =
= [4* Ш"43 {cflI + Ш { VI}~ U } { vz}] Рб +
+ [{a2}*6i"{al}6"2 + ^- 5^] n~(ba2 Ь\-Ь*А)9Ь-
Приравняв нулю коэффициенты при п и р6 , приходим к двум формулам Кодацци
dbn, дЬп9 ( б \ ( 6 1
~dq^ dq^= | "21 ^61 ~~ |al ) *62 ("=".2) (3!)
*) Квадратными скобками здесь обозначается разность предельных значений
величин при С -^ -]~ 0 и С -*-0
Ж?)1г=о = ИшфЮ- Игл ф(?).
Е->+0
494
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
и к формуле Гаусса
AJH Li 6 l + l V Ц 6 l_i у I i 6 I_ (b ьЬ-h b*) (32)
dq1 ("2 | dq2 (al | ^ ) a2 J | yl | )otl / 1 Y2 ( 4
Левая часть воспроизводит выражение (!0.П) при k--l, т -6, s = a, t~2 -
это компонента /?i2a- тензора кривизны в р/]2- на поверхности. Переходя к
его четырежды ковариантному представлению, имеем
atoRi*?. = Ri*ar- ~ (baib2).--ba2bix)
и по (10.18) следует принять а=--1, к2. Сославшись на (10.10), приходим к
представлению гауссовой кривизны через производные коэффициентов первой
квадратичной формы
([11, a) [22. Р1_
4212 2 \dqi* dqi* 0q^q2y
- [12, a] [12, f1])=----(блЬ22-^2)^-аК. (33)
5. Представления в линиях кривизны. В ортонормированном триэдре е,.
е2> ез
еа=ПГ1 = ГГ ' вз = п; йн ~ Hi ¦ а22=Н'1 0, У а --= Н,Н2. (34>
ца| а
В рассмотрении вводится плоская кривая Га - сечение поверхности
плоскостью векторов еа, п. Главная нормаль этой кривой (нормаль в стороне
вогнутости ее, к центру кривизны) обозначается гп, очевидно, что гп = еп,
8 = ± 1. По формулам для кривой
dm еа деа _ ш
доа ~ Ра ' доа ~ ра ' ('-5)
Здесь daa = Hadqa-элемент дуги на Га, ра-~ее радиус кривизны.
Было бы
ошибочно отождествлять главную нормаль in' в бесконечно близкой
точке 0/fi'
на Га с еп', п'-нормаль к поверхности в c/^''- Такое свойство присуще не
любой ортогональной сети на поверхности, а сети линий кривизны на ней.
Далее предполагается, что кривые [t/a[-линии кривизны. По их определению
три вектора еь п и пф-п^ dq1 расположены в одной плоскости
! 1
(e,Xn)-(n+n1d(?1) = 0, - е2-п, = тг р2-п, =--*"== 0.
П 2 П ^
Итак, на линиях кривизны
b\ = b\ = 0, 0. (36)
