Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
из общего числа 81. Остальные или нули, или выражаются через
перечис-
ленные.
Имеют место тождества Риччи: оставив на месте четвертый индекс и перебрав
круговую перестановку прочих индексов, имеем
Rktsr + Rtskr ~\~ Rsktr = 0. (19)
Это следует из того, что один из трех индексов kts неизбежно равен г.
При-
няв k = r, действительно получаем
Rkisk~\~ Rtskk~\~ Rsktk = 0>
так как второе слагаемое и сумма первого с третьим равны нулю.
Конечно, gSk = rs'rk< вычисляемые по заданию (6) вектор-радиуса
места,
тождественно обращают в нуль тензор кривизны. Если же, задавшись
поло-
жительной симметричной матрицей (IgXfcll и определив по ней обратную
матрицу llg^li, вычислим величины (18) и все они окажутся нулями, то это
укажет на то, что квадратичная форма (3) приводима к пифагорову виду (1),
gsk-ковариантные компоненты евклидова метрического тензора. В противном
случае ds2-квадрат линейного элемента в Л3.
По тензору 4R может быть составлен тензор второго ранга R путем замены
диад гМ, fV в (14) векторными произведениями г*Хг*, гуХгг
д =1 г*хг'г*ХгО?"" = фб*'"б''%,Г|,/?Шг (20)
490 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
(введен для удобства множитель 1 /4). По (14) этот тензор, тензор Риччи,
симметричен. Его контравариантные компоненты равны
tfn=±tf2323, R'*=jR2331, R(tm)=jRMlt,
R22=jR:,m. (21)
R:>:>=±R
g
Конечно, тензор Риччи обращается в нуль вместе с тензором кривизны.
В ортогональных криволинейных координатах соотношения (10) заменяются
условиями
г) Р
dts = -j-dq* (s=l,2, 3) (22)
dqk
и требование интегрируемости - существования ортонормированного триэдра
еъ е2, е3 приводится к виду (7.22). Подставив в них значения (7.16)
векто-
t
ров о, приходим к шести зависимостям Ляме
д 1 дНг д 1 дНгдНг
dq1 Нг dq1 dq2 И2 dq3 dq3
d3H1 {23)
dq'ldq3 H3 dq2 dq3 H.2 dq2 dq3
(остальные получаем круговой перестановкой индексов). Соблюдение этих
соотношений гарантирует приводимость выражения квадрата дифференциала
дуги
(7.9) к пифагорову виду. Условия (23) представляют требования обращения в
<?3 в нуль тензора Риччи, выраженные в ортогональных координатах.
§ 11. Сведения из теории поверхностей
Эти сведения будут использованы в основном тексте. Содержание § 11,
конечно, не заменяет ни одной из многочисленных монографий по теории
поверхностей.
1. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Поверхность
определяется заданием вектор-радиуса р на ней, как функции гауссовых
координат q1, q2
Р = Р(<?1. <?2)- (1)
Квадрат линейного элемента da2 на поверхности определяется определенно-
положительной квадратичной формой (первая квадратичная форма)
I=das=rfp-rfp = p"d(?"-paA/P =aafidqadq&, oap = pa-pp (2)
(греческим индексом задаются значения 1, 2). Здесь
Ра=|^ (а=1'2) <3>
- базисные векторы на поверхности. Матрице ||Оаб!| сопоставляется
обратная II a"P II
а" = ^, "22=^, а12-fl-|oap| = aiia"-a*,. а"Рар7 = б".
§11] СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ 491
t
Эгим определяется метрический тензор на поверхности
Е2- Оа№"Рр -=a"(JPaf'P =РаР". ра-й"Ррр, ра-р|3 = бр. (5)
Здесь ра также принадлежащие поверхности векторы взаимного базиса.
Поверхность представляет риманово многообразие ^,2. Геометрию на ней
можно построить, основываясь на знании квадратичной формы (2) -
коэффициентов аар(<?1. Ч2}- Они могут быть определены измерениями длин
отрезков, проводимыми существами на поверхности, не знающими о третьем
измерении. Мы покидаем поверхность, введя в рассмотрение единичный вектор
нормали к ней
Pi ^ р2 1
п- - ------г = -- p1xps. (6)
| Pi У р21 ~у а
Дифференцированием соотношений ра-п = 0 приходим к формулам
Pap-п - - Ра-np - 6ар, Рар-П - рр-пк, ^ар " йРа. (?)
определяющим величины Ьар~Ьра. По ним строится вторая квадратичная форма
поверхности
II - ba$dqadq$ , (8)
принимающая при переходе к новым переменным qa~=qa(q1, q'1) вид
П-бар-^ ^--dqVdq6 ly(,dqVdq6, by6 -- йар-^г- . (9)
ддУ dq6 ддУ dq&
Этим устанавливается, что Ьар - компоненты двумерного симметричного
тензора
В- 6кррарр =ftaP"Pp =6"Ppapp, bi = a$vbay, (Ю)
а векторы na, np оказывается возможным представить формулами
па = - &аР|3, пр=- &рра. (П)
Инварианты тензора В определяют величины
1Л (В)=Й +б! =2Я, I2(B)^b\bt-btbl = K = (bi,b22 - bu) (12)
называемые средней (Н) и гауссовой (JQ кривизнами поверхности.
2. Деривационные формулы. Вторые производные рар вектор-радиуса
поверхности не являются поверхностными векторами, их нормальные
компоненты по (7) равны ba$. Основываясь на определении коэффициентов aaр
= = Ра-Рр первой квадратичной формы и в точности повторив вывод формул
(4.5), приходим к равенствам
,|3)
Здесь в рассмотрение введены поверхностные символы Кристоффеля.
Формулам дифференцирования базисных векторов придается вид
Р"[3 - " | Pv + ^apn 0 4)
(деривационные формулы Вейнгартена). Для векторов взаимного базиса они
приобретают вид
Ш -{hK*""- "5>
что следует из формул (4.7) и соотношений pap^ :-6a, aaV 6^,66б •
492
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
