Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Например, как следовало ожидать
у j) rxdr^ - у ^*Хг=у Jj" (ny-r - n-vrT) do =
О О
Поверхность "шапки" назначается произвольно. Поэтому при равенстве нулю
циркуляции
чАА чАА чАА
(j) dr-a = 0: vxa = 0, а = у<р, ^ dr-a = jj dr-y<p = ^ ^Ф =
Ф"" ~"Ф.л0 О2)
I чАА Q чАА^ м0
линейный интеграл по кривей не зависит от выбора этой кривой, а
определяется только координатами конечной и начальной точки на ней -
разностью потенциалов в этих точках.
Аналогичные соотношения для тензора второго ранга имеют вид
чАА чАА чАА
фdr-Q-0, yxQ- 0, Q=ya, ^ dr-Q- ^ dr-ya da- aM - aMii,(l3)
Г чАА ^ чАА 0
чАА ч^А чАА
(j) Q-dr = 0, yxQT = 0, Q = yaT, ^ Q-dr=^ yaT-dr=^ da--
1 M0 чАА q iAAq
(14)
3. Двусвязный объем. В двусвязном объеме имеются замкнутые контуры,
назовем их Д-контурами, сводимые непрерывным преобразованием
друг
к другу, но не сводимые в точку. Таковы осевая линия тора,
контур в объ-
еме между двумя коаксиальными цилиндрами, охватывающий внутренний
цилиндр. Двусвязный объем можно превратить в односвязный с помощью
барьера, он не теряет при этом связности - не распадается на два куска.
Например, барьером для коаксиальных цилиндров может служить
полуплоскость, проходящая через ось цилиндров.
Пусть выполнено, как в (12), условие интегрируемости а = Уф! однако
теорема Стокса неприменима к Д-контуру, так как над ним нельзя построить
"шапку" о, не выходящую за пределы v, поэтому нет основания считать
циркуляцию по Д-контуру нулем, ф - неоднозначная функция координат
а=Уф, ф dr•a = ^'dr•vф = ^dф = x• (15)
К К К
"Циклическая постоянная" % - одна и та же для всех Д-контуров. Это
подтверждается рассмотрением интеграла по сводимому непрерывным
преобразованием в точку контуру оДРleMieJliofCго/lli> составленному из
двух контуров KiioSfiodioSfi), Д2 (aSijftaSi) и барьера аТеорема Стокса
применима к этому контуру и условие обращения в нуль циркуляции по нему
выражается равенством
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТЕНЗОРУ ДЕФОРМАЦИИ
485
и после приведения подобных членов получаем
dr-a + ф dr-a = 0, ф dr-а = ф dr-a,
К2 Ki Ki К2
что и требуется. Конечно, сказанное относится и к циркуляции тензора
Q = Va, j) dr-Q dr-va da = b,
К К К
Q=V(r)T. ^ Q-dr vaT-dr = (j) da= с.
К К к
Здесь b (или с)-циклические постоянные векторы.
§ 9. Определение вектора по заданию линейного тензора деформации
В уравнении Гельмгольца (2.13)
da = (c+?2)-dr=B-dr + (OXdr (1)
первое слагаемое правой части известно, второе должно быть определено
условием интегрируемости - существования вектора а, линейной деформацией
над которым является заданный тензор в. Роль Q в соотношении (8.14)
отходит к тензору 8+?2 и условию интегрируемости придается вид
VX(e+?2)t = vXe -VXQ^O, (2)
приводящий по (2.18) к соотношению
V Xё уwT - Eyw. (3)
Но по (6.5) и (2.19)
/1 (VXe) = -2уо> = 0, ую = 0, vxe = v"t, (4)
так что
(VXE)-dr = vwT-dr = dw. (5)
Условиям интегрируемости этого соотношения снова по (8.14) и по
определению (6.23) тензора несовместимости придается вид
УХ(уХё)т=1п1чё=-=0 (6)
- задание ё должно удовлетворять этому условию-шести уравнениям
сплошности Сен-Венана.
Возвращаясь к (5Д получаем
м
W=(0t .
ма
и уравнению Гельмгольца (1) придается вид
JU
0+ ^ (VXE)-dr (7)
da = ft)0Xdr-drX ^ (VXE)-dr-j-E-dr. (8)
м,
486
Приложение hi. сведения из тензорного лнллизл
Следующее интегрирование дает
M(s) М (а) М(s)
а = а0+ w0X(r - r0)- (J dr (а) X (V Хе (а')) dr (а')+ e(a)-dr(o). (9)
а о
Здесь Яо, (о0> го-постоянные значения векторов а, о, г в начальной точке
а//о (s0) пути интегрирования, г- г (s) - вектор места точки (s); а, а' -
переменные интегрирования на пути (s-#og//)- (рМо> ай (а))¦
Обобщая известное преобразование двойного интеграла н одинарный
ах а а
\dx^ f (х' у) dy=\ dy ^ f (Х' У') dx'
0 0 0 у
имеем
М м (О) M{s) М
dr (а) х (V Хе (o'))-dr (o') -- - ^ (у Хе (o')) dr (o') X ^
dr (сг) -
Ми М0 М0 М (o')
м
=-" 5 [г(.ч) -r(o')]x(yXe(o'))-dr(o').
ма
Выражение (9) теперь преобразуется к виду
М{:S)
a (s) = a0+ce0X(r (s) - г0)+ ^ {е (ст)-|- [г (о)- г (s)lx(y Хе (о))}•*
(о) (10)
""О
- это формула Чезаро, определяющая вектор по его линейному тензору
деформации.
Остается проверить, что интеграл в (10) не зависит от выбора пути
интегрирования. Называя П-тензор под знаком интеграла, имеем, сославшись
на (1.14.5),
Пт-= {е (о) -f [г (о) - г (s)] X (у Xе (о)}т = е (о) - (у Xе (о))' X [г
(сг) - г (s)]
и по (8.14) следует убедиться в равенстве нулю ротора этого тензора.
Приняв в формуле (3.12) тензор Q = (yXe)T, имеем, сославшись также на
(1.14,7),
V X{(V Хе (о))тХ[г (о) - г (s)]}^ (уХ)УХЕ (о)}1} Х)г (о) - г (s)] -f
-f [ухе (cr)]TT - Е/г(ухе (ст)) = 1пк е (ст)Х[г (ст) -г (s)]-f у Хе (о).
Итак, условие
УХПТ = у Хе (о) - Ink е (сг)х[г (о)-г (s)]-yxe (о)^0
сводится к тому же требованию (6), выполненному здесь, так как вектор г
(о)-г (s) - произвольный.
§ 10. Тензор Римана-Кристоффеля. Тензор Риччи
Квадрат линейного элемента в евклидовом пространстве представим в
пифагоровой форме
