Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
будет достигнут п-й порядок разложений, и дал правила такого выбора.
Резонансное взаимодействие волны и частицы. Применим последний метод к
решению рассмотренной ранее в п. 2.26 задачи для волны,
распространяющейся под углом 45° к магнитному полю, с гамильтонианом
(2.4.108). В первом порядке уравнение (2.5.31а) принимает вид
Р* sin(^- "ер). (2.5.86)
34) <Эср
Запишем решение этого уравнения:
со
Щ = . (2.5.87)
^ Р^ - т
т =0
С помощью (2.5.25а) находим интеграл движения
/ = /0(Яф) + в[ш;1, /0], (2.5.88)
или
1 = (2.5.89)
di|> dPq v '
Если выбрать dI0/dP^ согласно (2.4.109), то все резонансные знаменатели в
(2.5.87) сокращаются и для / получается выражение (2.4.111). Первичные
резонансы при - + 1, 0, - 1 хорошо описываются полученным интегралом
движения (см. п. 2.4г).
Переходя ко второму порядку, следует решить уравнение
(2.5.316) и найти w2. С помощью (2.5.25) получаем интеграл движения в
виде
/ = Л> + еИ, Л>] + -^[(r)2Л]Н--^-Н, АЛЬ (2.5.90)
Эта функция имеет полюсы второго порядка при целых и полюсы первого
порядка при полуцелых Чтобы устранить все эти полюсы, выберем
- = sin2 nP^sin2nP^. (2.5.91)
Инвариантные кривые (/ = const) показаны на рис. 2.13; их следует
сравнить с инвариантными кривыми первого порядка (рис. 2.12, б) и с
численными результатами (рис. 2.10, б).Полуце-лые резонансы, как и
нерезонансные области, хорошо воспроиз-
162
Глава 2
k.v.
о
Рис. 2.13. То же, что и на рис. 2.10, б во втором порядке по е = 0,1 (по
данным работы [290]).
водятся на рис. 2.13. Однако целые резонансы сильно искажены, хотя для
меньшей величины возмущения согласие гораздо лучше 1290]. Здесь остается
еще много неясных вопросов1).
§ 2.6. Сверхсходимость
Рассмотрим теперь некоторый класс методов теории возмущений, предложенных
Колмогоровым 1229] и играющих, как показано в гл. 3, фундаментальную роль
при доказательстве теоремы КАМ. Их основной чертой является чрезвычайно
быстрая сходимость последовательных приближений. Во всех до сих пор
рассмотренных в этой главе методах гамильтониан Н = Н0 -г еЯ 1
подвергался таким последовательным каноническим преобразованиям, при
которых порядок возмущения по е изменялся на единицу на каждом шаге:
гН1 е2//2 -*¦ е3#3->¦ . . .~>гпНп.
!) Это замечание относится, по-видимому, не столько к самой задаче,
сколько к возможностям и пределам применимости метода ДЛТ.- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
163
Это ясно видно, например, из системы уравнений (2.5.31). Выбирая
производящую функцию Ли wlt мы исключаем {еН1\, но остается е2//2;
выбирая w2, исключаем {е2Д.>|, но остается г3Н3 и т. д. Колмогоров
показал, что последовательность канонических замен переменных можно
организовать таким образом, чтобы оставшееся на каждом шаге возмущение
было порядка квадрата предыдущего:
еНх е2Я2 е*Н3 -> . . . -> е^-1) Нп.
Выполнив п преобразований, можно получить таким путем реше-
пие задачи с точностью порядка е . Такая процедура носит название
сверхсходимости или иногда квадратичной сходимости х).
Продемонстрируем оба обсуждаемых подхода на имеющей самостоятельный
практический интерес задаче отыскания корня уравнения
/ (х) = 0. (2.6.1)
Следуя Мозеру 1310] и Берри [26], предположим, что нам известно некоторое
значение х0 (обычно это решение невозмущенной задачи), которое можно
принять в качестве начального приближения для корня. Следующее
приближение хг найдем из первых двух членов разложения Тейлора вокруг х0:
/(*о)-/'Ы(*1 - *о) = 0- (2.6.2)
Для получения приближения хп на п-м шаге необходимо определить корень
полинома п-й степени
П
у
т
т =0
']-±-?т)(х0)(хп-х0)т = 0. (2.6.3)
Выберем малый параметр е = х-х0 и представим функцию / (х) рядом по
степеням е. Вычитая из этого ряда выражение (2.6.3), получаем, что ошибка
еп = х-хп после п-то приближения является
величиной порядка е""1:
j fn+\)
(П Э 1)! Г Со)
- 8п+|. (2.6.4)
Такая линейная сходимость характерна для обычных методов теории
возмущений.
Чтобы продемонстрировать квадратичную сходимость, воспользуемся методом
касательных Ньютона. Первый шаг этого метода представлен уравнением
(2.6.2). Ошибка ех первого шага
В В отечественной литературе употребляется также термин "ускоренная
сходимость" [463].- Прим. перев.
164
Глава 2
оценивается с помощью разложения f (х) относительно точки х0 до е2:
е1 - а (х0)(х-х0)2 = ае2, (2.6.5)
где
"М=---------1-У (ХоУГ (Хо)- (2.6.6)
Таким образом, ошибка имеет порядок е2. На следующем шаге повторим
процедуру разложения / (х) вокруг точки лу (а не х0) и найдем
*a-*i =----------------------------------(2.6.7)
Г (*0
Ошибка этого шага с учетом (2.6.5) равна
ег ~ а (ду) (х-х{)2 ~ а (лу) а2 (лу) е4 (2.6.8)
и является величиной порядка е4. Быстрая сходимость обеспечивается за
счет того, что значение переменной, вокруг которого выполняется
разложение, с каждой итерацией приближается к точному значению. По
индукции для ошибки после п итераций имеем
(х-хп) - е*2") П о№~1) (х^х). (2.6.9)
k-i
