Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
в нуль ни оси OZ; эта прямая не включена в область задания координат.
Вектор-радих с точки в цилиндрических координатах представляется
выражением
r = rer + kz. (б)
Для сферических координат
ql-=R, = Я, qs - X; 0 < R < оо, 0 < Д < л, 0 < Я < 2л
(7)
- радиус сферы, угол, отсчитываемый по меридиану от северного
полюса,
долгота (с востока на запад). Координатные поверхности: сферы R = RU с
центром в начале координат О; Д = Д0 - круговые конусы с вершиной О;
полуплоскости Я = Я0, проходящие через ось OZ- Координатными линиями
служат параллельные круги [X,], по которым пересекаются поверхности сфер
и конусов, радиально расходящиеся полупрямые (/?]- пересечение конусов Ап
и полуплоскостей Я0; меридианы [Д] - пересечения полуплоскостей Я0 со сфе
рами R0. Касательные к этим линиям-векторы е3 = е^, е1 = е/?, e2 = efl;
k = e^ cos # - e^.sin Д - единичный вектор оси OZ.
Якобиан У g = R2 sin О. Вектор-радиус определяется формулой
r = eRR. (8)
Квадрат линейного элемента в ортогональных координатах представляется
выражением
dr • dr = H\dq,г+ Htdq^-y H%dq32 = ds2, (9)
а элементы дуг на координатных линиях [qк] равны
dks =Н kdqk- \ гк\ dqk. (10)
Для цилиндрических и сферических координат d]S = dr, Hi - Нr = 1; d2s =
rd(p, Н2 = Н =r\ d3s = dz, H3--Hz = 1. (И) diS = dR, H1 = HR- 1; d2s =
/?d$, Н2 = Н$- R\
d3s= R sin Д dЯ, H3 = H^--~R sin#. ^ j 21
3. Дифференцирование векторов ортонормированного базиса. Конечно,
могут быть использованы формулы § 4; предпочтительно избежать вычисления
символов Кристоффеля и прибегнуть к кинематическому способу подвижного
триэдра Дарбу (G. Darboux).
Пусть вершина aS ортонормированного триэдра es движется с единичной
скоростью г=1 по координатной линии [qm], так что
dms = H," dqrn - dt
(t - время). В каждом мгновенном положении триэдра векторы es в этом
движении должны приобретать направления касательных координатных линий в
точке ее движение поэтому сопровождается вращением триэдра вокруг
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
479
т
угловая скорость этого вращения обозначается со. По известной
формуле кинематики твердого тела скорости концов единичных
векторов относительно
вершины триэдра будут равны
dtс dts т
и искомые формулы приобретают вид
т т т
xts, о = Нтт. (13)
т т
В рассмотрение вводится кососимметричный тензор Q, для которого о
является сопутствующим вектором
т т т т
' dq(tm) °РЧ'pK:q
Q = о X Е = о X е,^ = ts = oPQ tptq (14)
с компонентами
т dtq
0p4=~d^'tp
т
и по (1.11.1) вектор о в ортонормированной системе ts представляется выра
жением
tn lm 1 de,
°РЧ е'1Р1 ~2~дсрп'йр eqptet-
По (4.3), (I) и (2) имеем
" " 1 fdgsk , dg1k dgs1 \ идНк дНк dHs
rsi-rft = - -Г7 + ^--------ГТ ) = Н^~Т н1-- ofc) - Ht-- ost =
2 \ dqi dqs dqk / dq1 dqs dqk
=~~7 (Hsts)- Hktk =Щ*- Hk&sk+HsHk^.tk, oqr dqr oq1
q - - - (15)
^ n Ht ( дНк dHs \ dHk dHs
~ *th ------------ Oh ------ 0st ---------Obi--------0ci.
4* HsHk\dq* dq* StJ Hs dqs Hkdqk$i
так что
de lq
Подстановка в (15) приводит теперь к соотношению m 1 ! дНр ^ дНд ^
^
\ ТПЩчЬр,п ~ Hpdqp bqm ) eqpi е*=
2 \Hqdq4 pm HpdqP
1 / dHm dHm \ dHm " ч/
- ( a n S9m1 и "^тР^ ) tqXtm - S/Hm;.tm.
2 V Hq dq4 Hp dqP J H q dq4
Итак,
m лР дн
о = vHmXtm, -J-=--(vHmXtn)Xts = trn f 6 msvH,n. (16)
dqn Hs dqs
Это - искомые деривационные формулы базисных векторов ортонормиро-
т
ванного триэдра. Отметим, что векторы о часто можно определить без
вычисления, основываясь на их кинематическом истолковании.
480 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
1 <р з
Hr = 1, #ф = т, #з=1; о = 0, о = угХеф = к, о = 0, (17)
как и следовало ожидать-движение триэдра по координатным линиям
[г]
и [г] - поступательное, а по окружности [ф] - вращение с угловой
скоростью
Ф
<о = к /г.
Отличны от нуля производные
:0ХеФ = -ео
Зег ф Зеф
--^оХег = е .
Зф ч> Зф
В сферических координатах
R Ъ
HR= 1, о = 0; H^ = R, о = V#Xe0 = e^Xefl, = e? ; Нк = R s.n О,
I
o = v#я Xex=(e" s;n Д+е# cos 0) Хег>=- efl, s.n Дф-e^cos 0 = k.
Отличны от нуля производные dtR Зел
Зе
ЗД
Зе#
ЗЯ
Зг9
= kxed = e^ cos Д,
;еЯ Хей = - еЯ> ЗЯ к
R
ЗЯ
= к Хед = е?_ s.n -
(tR s n О-pcos Д).
Подстановка в тождества
3 dek
д Зе/,
dqs dqi dqf dqs
выражений производных (13) приводит к равенству
(18)
(19)
(20)
(21)
3 * д
- о X е/.---------------
dqs dq*
о Хе*
t
Зо
3° V. 1 - (s v. ')
I -х С/; -[" О , ч \ О s\Cfr ) ¦
dq* J
t
do
do
dqf
°Xo)
X tk = 0
oXej у =
(Я 1, 2, 3),
откуда следует соотношение связи между векторами о
t S
do do ^ ^
-+оХо -=0. (22)
3^ dq1
4. Дифференциальные операции в ортогональных координатах. Вывод
приводимых ниже соотношений основан на представлении (4) набла-оператора,
S
на деривационных формулах и определении (16) векторов о.
а. Градиент вектора
et 3 dab
VB - С/г^/г -
Hsdqs
и далее Si - ( оХе"
i-es оХе," - е5е/г Нs dqs Rs
dO-k j Ц/л
#7з^
е/г ¦
1 = о-(е,"ХеД = \Hs-[es
dli.
Нт dq"
¦ 6,.
sk '
dHs
#/; dqk
§8]
