Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
VftVi(---) = ViVft (••¦)¦ ('0)
Выражению лапласиана теперь придается вид
v:2Ф -= тк • Ку* у*Ф = ekSVkVsy = VSV^ • (11)
Здесь введено обозначение операции "контравариантного" дифференцирования
Vs=gskVk- (12)
4. Развернутые выражения операций второго порядка над вектором громоздки.
Тензор третьего ранга ууа допускает следующие свертывания,
снижающие его ранг на две единицы: образование лапласиана и
градиента
дивергенции
V2a = у?а = г* • Ч. rirks/ial'^gstrilysytak -- г(13) vv.a = rJ4_JL_jL
yTj, (14)
dqs У g dqk
Через эти векторы представляется еще один вектор
V X(vXa) = уу-а- V2a- (!5)
476 ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Дивергенция тензора уат представляется выражением
V-vaT = r* ¦ ^Jr*r#Vfa/i = 6|r/VsV/aft=r'v<Vftafc
и по (14)
V • VaT - = VV 'а. (16)
Снижая ранг тензора ууа на единицу, получаем тензоры второго
ранга-
ротор градиента и градиент ротора
VXVa - 0, vVXa- r?r*v"/(17)
5. По тензору четвертого ранга VVQ образуются тензоры второго ранга-
градиент дивергенции, дивергенция градиента (лапласиан) и ротор ротора
УУ-0 = ^г"у^У/г9Ап. V ¦ VQ = V2Q = rkrtV^VsQkt' (18)
V X(v XQ) = W • Q - V2Q (19)
и образуемый по (5) тензор
VV/i (Q) = rVVftV^i (Q)- (20)
Векторами, вычисляемыми no VVQ> являются
VXV/i(Q)-0, V ¦ (V XQ) = 0, VX(vQ) = esnmrmv"Vf q'-n, (21)
а скаляром
VV Q = VkVsqkS- (22)
6. Тензор Ink Q. Этот тензор, называемый "несовместимостью Q" (Inkorn-
patibilitat), имеет существенные применения в механике сплошной среды. Он
представляет ротор транспонированного ротора Q
lnkQ = VX(VXQ)T. (23)
Далее предполагается симметричность тензора Q. По (19) выражению (23)
можно придать вид
Ink Q = - V2Q-rVV'Q - VX[(VXQ) - (VXQ)T) (24)
и надо рассмотреть выражение в скобках. Сославшись на (1.14.19), имеем V
XQ - (VXQ)T - (r*Xrmr" -г"г*Хгт) Чsqmn = Е X [r" X(r^ Xrm)] Sjsq'nn =
=---EX(rsfo"-rffl6j) V"<?mn = EX(r'?vigmrms/nqmn),
так что
VXQ - (VXQ)T^ Ex[v/i (Q) - V-Q] --ЕХИ. (25)
Здесь to no (1.11.8) - вектор, сопутствующий кососимметричному тензор\ Й
и по (2.16)
VXЙ - уо>т - ЕV¦ •<"- VVA (Q) -(VV-Q)T -Е [V2/] (Q) -V-V-Q]-
Подстановка в (24) приводит к искомому представлению
Ink Q^- v2Q+ VV-Q + (VV-Q)T-r (Ev2- VV) h (Q) -Ey y Q. (26) Из него сразу
же следует симметричность Ink Q при Q = QT
Q - QT: Ink Q = (Ink Q)T. (27)
Второе представление Ink Q следует немедленно из определения (23)
Ink Q = ?,nqesmrrqrr\/t\/sqnm = г*Хгпг^ XrmУ(У4(?"т, (28)
§7] ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 477
откуда, учитывая переставимость операторов ковариантного
дифференцирования, приходим к следующим выражениям контравариантных
компонент:
(Ink Q)n=-^r (у1<7зз'г vl</22 - 2у2Уз<7гз)>
f (29)
(Ink Q)12= - [- ViV2<733 + \7з (Vi<?23+ V2<?3i V3912H
(остающиеся четыре компоненты получаем круговой перестановкой индексов).
Пусть Q - линейный тензор деформации (2.11). В декартовых координатах
выражения (29) 'принимают вид
{1пкг)гг=д%,+о^_ф^ да* да* да2да*
(Irik е)
12 д2гзй ( д (де2з , де31 де12
да1 да2 г да3 \ 5а1 ' да2 да3
и условия 1пкв = 0 приводятся к известным шести уравнениям сплошности
Сен-Венана в линейной теории упругости.
§ 7. Ортогональные криволинейные координаты
1. Выбор криволинейных координат q1, <?2, q;l подчинен требованию
ортогональности базисных векторов
<Vi> = giA = 0, s ф k; rs-rs--=gss=--Hl (s=l, 2, 3). . (1)
Величины Hs = \rs\ называются коэффициентами Ляме. В рассмотрение
вводится ортонормированный базис
es - jf-, s~ 1, 2, 3; | е5 | = 1; ereA = 0, s Ф k. (2)
Вектор е - единичный вектор нормали поверхности qs = g'o=const, он имеет
направление касательной к кривой [цЦ, вдоль которой эта координата qs
переменна (в сторону, куда она возрастает), а две другие постоянны.
Матрица ковариантных компонент метрического тензора j| gSh Ц диагональна,
как и обратная матрица !| gsk ||
\\gsk ll=diag (Hf, Н%, Н\), il^|| = diag^, ±, ^) . (3)
Поэтому
rs = g3l'rk=±, rs = Hsts, rS=jf- >
Hs ns
es d ...
*=h~W' E = ()
Конечно, индекс, входящий в левую и правую части формулы, не является
немым; суммирование по нему не предполагается. Сохраняется суммирование
по немому индексу; в отличие от принятого правила оно проводится и по
повторяющимся трем индексам и независимо от расположения индексов:
примерами служат выражения V и Е в (4).
2. Цилиндрические и сферические координаты - хорошо известные примеры
ортогональных криволинейных координат.
478
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Для цилиндрических координат
q1 = r, q- = ф, qJ = z; 0 < г < оо, 0< ф < 2д, оо < г < оо (,",j
- это радиус, азимутальный угол, высота. Координатные поверхности -
круговые цилиндры /¦ = /¦", осью которых является ось OZ (единичный
вектор к = е3), полуплоскости ф = ф0, проходящие через ось, ей
перпендикулярные плоскости z=20. Координатными линиями в пересечении
соответствующих пар поверхностей служат прямые [г], параллельные оси OZ,
радиально направленные полупрямые (г] и окружности [ф]. Касательные к
этим линиям- векторы е3 = к, е1 = еГ, е2 = еф. Якобиан J= Vgг обращается
