Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
некоторыми композициями тензорных величин. Цель - представить результаты
в инвариантном виде через набла-оператор и сами тензорные величины, но не
через базисные векторы и компоненты тензоров; иногда их приходится
использовать в ходе вывода.
1. Градиент произведения скаляров, скаляра на вектор, на тензор
Уфф = фУФ + ФУф. Уфа=(Уф) а + ф\?а, уфЯ = (Уф) Q+ф VQ- (!)
2. Градиент скалярного произведения, векторного произведения, ротор
векторного произведения, дивергенция диады, векторного произведения
Va-b Mva)-b + a-vbT = (va)-b + (vb)-a, (2)
Vaxb =(va)Xb -(vb)xa, (3)
VX(axb) = b-ya -by a-a-vb + ay b, (4)
yab = (ya) b-fay b, (5)
y(axb) = b-(vxa) -a-(vxb). (6)
Можно разнообразить эти записи. Например, по (2.12), (2.8)
уа = уат-2Я,
(ya)-b = b-va - 2Q-b = b-ya-2mxb = b-ya+bx(VXa) и выражению (2) может
быть придан вид
ya-b = b-va + a-vb + bx(vxa)-f ax(VXb). (2')
3. Дивергенция Qxr
У (QXr) = (v-Q)xr+rJ-Qxr5.
Представив Q суммой симметричного и кососимметричного слагаемых, имеем
(г5 • S) X г* = Sstrt Хг5 - Stsrs У, Tt - Sstrs X r( = О,
(rJ-Q)xrJ = (гГх (о) X r s = mrsTs-Tsm • r5 = 2о".
Пришли к соотношению
y(Qxr) = (yQ)Xr + 2w, (7)
в котором (о-сопутствующий кососимметричной части Q вектор. При
Q = QT: y(QXr) = (yQ)Xr. (8)
470 ПРИЛОЖЕНИИ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
y-(Q-a) = (yQ)-a +r?-Q • ^ = (yQ)-a + ry-(Q-vaT)-rs
^=rmr nVsPmn, yP ~rsrmrnVspmn-
4. Дивергенция rXQ
V-(rxQ) -- У •(rXr,"r"pmn) = rr-(riSxrm) rn(/m,! + rs'-(rXrm) r" ysqmn =
= (rsXrs)-Q.-r-(г4Xr,"r") \jsq'nn = (rJXг*)• Q - r¦ (у xQ).
Первое слагаемое но (2.16) отпадает. Получаем
y-(rxQ) = - r-(yxQ) (9)
- в ходе вывода было использовано правило дифференцирования тензора
(5.3))
5. Дивергенция произведения тензора на вектор
да
dqs
= (y-Q)-a+/1(Q-yaT).
Пришли к часто используемому преобразованию
V-(Q-a) = (y.Q)-aJ-Q..yan (10)
6. Дивергенция произведения тензоров. В ходе вывода используется
приводимая ниже в § 5 формула дифференцирования тензора второго ранга
дР
dqs
Здесь уР-тензор третьего ранга. Получаем V(Q-P) = (r'.|^).P+(,*.Q).^ =
= (V-Q)-P+(QT-r4).r'*r" Vspm"=PT-V-QW--rW'Vsp,,m,
так что
y.(Q-P) = PT-(yQ) + QT--VP. (11)
7. Ротор векторного произведения QXr
V X (Q X г) = (у х Q) X г -f- rs X (Q X Гу),
г4X(QXгД = rfXrmr"XTsq'm - eSmqenstrl]Tiqm = (b?bn - Ь"Ь]) r^q'm =
= ?iV'-r,r V = QT - E/X(Q),
так что]
У X (Q Хг) = (у X Q) Xr-f QT - E/j (Q). (12)
§ 4. Производные базисных векторов. Символы Кристоффеля
1. Принимается обозначение производных базисных векторов
drs . . дг1 _ д2г
dqt St fs dqs dqi dqs
Их представления в форме разложения по базисным векторам задаются
выражениями
iV=Wi>' (2)
Коэффициенты этого разложения называются символами Кристоффеля второго
рода (они часто обозначаются Г^). Из определения следует симметричность
§ 41
ПРОИЗВОДНЫЕ БАЗИСНЫХ ВЕКТОРОВ
471
символов по нижним индексам
Ш-иЬг1"гь- • (3)
Следствием (2) являются соотношения
¦gqk = Tst-rk> (4)
{5}'
правые части которых выражаются через производные ковариантных компонент
метрического тензора. Действительно,
д д _
~~Г rs'Tk- ~7 7* gsk - rst'rk + Г?-ГИ>
dq' dq1
д
gkt-=rks-rt + rk-ru,
д
-- gts - rtk 'ri + гГ rsk dqk
и величину в правой части можно получить, вычитая третье равенство из
суммы первого и второго
rst.rk=L( к].
2 \ dqг dq6 dqk )
Величины справа называются символами Кристоффеля первого рода
Ь2 \ dqt ^ dqs dqk )
Формулам (4) и их обращениям придается вид
(5)
= У Г* = [S/, Й], j>=g4h{st, k}.
(6)
Этим вполне определены производные (2) векторов основного базиса.
По ним можно определить и производные векторов взаимного базиса:
6( = rr-rt= О, . г1 + г'5'-г№=-^г . rj+rJ- -Щ г9
= 0.
drs , .
• n-f r-r(ft=---------
dq'c dqk
Приходим к формулам
dr5 , I s 1 _ drs ( s 1 t
dqk *rf+ ' dqk~~\kt\T' ( )
2. Производная g. Имеем
" ^dqk = ^ri-(r2Xr3) = {\k } г",(ГгХг^+ {гй } r"'(r3xri) +
так как, например, r,"• (r2Xr3) ф 0 только при m=l. Приходим к часто
применяемым соотношениям
= s I 5 1 ' (8)
dqk V g \sk f ' dqk ~ \ sk ( '
472
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
3. Преобразование символов Кристоффеля. В новой системе криволиней ных
координат
Формулы преобразования компонент тензора третьего ранга (I, § 7) имеют
вид
тогда как в (9) входит лишнее (подчеркнутое) слагаемое. Символы
Кристоффеля поэтому не являются компонентами тензора.
§ 5. Ковариантное дифференцирование
Проведение вычислений над тензорными величинами требует введения
координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной
структуры. Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) обусловлено
присущими ему свойствами; оно определяется с помощью набла-оператора - в
символической записи: d (•¦•) = dr-\(•••}. Иначе обстоит дело с
компонентами, их изменение зависит еще от внесенного в рассмотрение
базиса. Например, пусть а-постоянный вектор, da = 0, но ak или ак вовсе
не постоянны вследствие изменяемости базиса. Обратно, при постоянных
компонентах вектор а не остается неизменным по величине и направлению.
