Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
координаты).
В алгебре все операции были относимы к фиксированной точке, введение
криволинейных координат и векторного базиса (4) соответствует переходу к
изучению поля-сравнению величин (скаляров, векторов, тензоров) в
различных точках трехмерного евклидова пространства (§3. В нем возможно
задание положения любой точки, как это сделано выше, в единой декартовой
систем OXYZ.
Вектор dr = Q$cM', где а41' точка в бесконечно близкой окрестности оМ,
определяется формулой
dr=^dqs = rsdq3, (6)
так что квадрат линейного элемента (aSaS')2 представляется положительно
определенной формой
ds2 = dr-dr = xsdqs-rkdqk = gSk dqs dqk. (7)
Здесь и далее сохранены обозначения Приложения I: \\gs/i\\-матрица
ковариантных компонент единичного (метрического) тензора Е. Его
представления через контравариантные gsk и смешанные g|---компоненты
даются формулами
(1.4.14). В декартовых осях
Е = М* (8)
*) Чтобы сохранить правило суммирования по верхнему и нижнему немым
индексам, f, где это требуется, обозначаются i4, а as через as.
НАБЛА-ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
467
и это соответствует записи квадрата линейного элемента в "пифагоровой"
форме ds'l~ (da1)2-}- (da1)2-:- (da*)-. (9)
После введения взаимного базиса г8 по (6) имеем
dqs = r*-dr = dr-rs. (10)
Это простое соотношение далее многократно применяется. Оно облегчает
получение записей, не содержащих базисных векторов, значит, и
не связанных
с выбором тех или иных криволинейных координат. Назначение их
относимо
I 'к этапу перехода от общих соотношений к конкретному вычислению.
§ 2. Набла-оператор Гамильтона
Рассматривается скаляр cpfa1, ?2, ф!) и его дифференциал d<p- приращение,
обусловленное переходом из точки поля в точку cS' в бесконечно близкой
окрестности. По (1.10)
dqs
дгр
• dr
(1)
- справа показано скалярное умножение вектора dr и величины, также
являющейся вектором, так как результат действия - скаляр drр [см.
(11.1.1а)]. Этот вектор называют градиентом скаляра и обозначают
_д_
dqs
V = г
dqs
(2)
Позволительно трактовать эту запись как произведение символического век-|
тора у, набла-оператора Гамильтона, на скаляр. Можно было бы записать : в
(2) набла-оператор справа (зу) от величины, на которую он "действует" ,
Такие записи применяются, но мы будем избегать их.
Сказанное можно использовать в применении к вектору
г)я
J-" ia=^r*'dr- (3)
da^dq*
^ t да. , --dr-r -r-^=dr'Va,
dqs
В первой записи вектор da представлен произведением слева на dr величины,
представляющей по (II.1.16) тензор второго ранга, обозначаемый уа
уа
Г dqs а-
(4)
|Этот тензор, формально представленный диадой векторов у и а, называется
"градиентом вектора а. Вторую запись (3) можно представить через ау,
новсоот-рветствии со сказанным мы примем для нее обозначение уат-
транспонированный градиент. Итак,
da = yaT-dr*). (5)
*) Мы следуем обозначениям Н. Е. Кочина: уа-градиент вектора а; |тензор
уат Н. Е. Кочин называет производной вектора а по направлению г
уат=^-, yaT*dr=da.
|В зарубежной литературе градиентом называют как раз уаг.
468
ПРИЛОЖЕНИЕ III. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Распространение этих действий на тензор второго ранга приводит к тензору
третьего ранга ,
dQ==T^df ~ dr-rSTjr^dT^Q' vQ^r'JpT' ^=IvvQ- (6>
Подобно тому как диаде ab сопоставляется скаляр а-b и вектор axb,
по тен-
зору Va определяется скаляр
да
V-a^rs • --=- = diva, (/)
uq-
называемый дивергенцией а, и вектор-ротор а
да
VXa -г*Х ^p=rot а -2о). (8)
Вектор (о называют вихрем вектора а; это - вектор, сопутствующий кососим
метричному тензору ?}. По (1.14.9)
^ 1 , да \ 1 / ь да г . " да
О = Е Х(0= - rftr X (^г-Х ^ j=Tr*(r*. ^ г*-г*-г* ^
= i-(VaT-va). (9)
Обратно, по (1.14.17)
w = e--Q. (10)
Кососимметричный тензор ?} называется тензором спина; симметричный
тензор,
определяемый по уа, называют линейным тензором деформации над а
е=1(уа + УаТ). (П)
В этих обозначениях
уа = е -Q, yaT = e-fi2. (12)
Сославшись на (3), приходим к формуле Гельмгольца
da = уат-о!г = е-а!гД- Q-a!r^e-a!r+(oXa!r (13)
- ею определяется поле вектора а в окрестности с// через тензоры
деформации и спина в а/ft.
Сверткой V-Q определяется вектор, называемый дивергенцией тензора
j?Q dq
V-Q = div Q = r* • зду. (14)
Ротор тензора-тензор второго ранга, определяемый соотношением
у XQ = rotQ = r9X 4Я-- (|,7)
dqs
Аналогично проводятся действия с набла-оператором в применении к тензорам
любого ранга.
В применении к вектор-радиусу
Vr = rsr, = Е, уг = 3, уХг = г^Х1Д = 0. (И>)
Легко понятны соотношения
VE - 0, уе = - уЕхЕ = 0, (!')
§3] ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ НАБЛА-ОПЕРАТОР А 469
так как в декартовой системе Е ЦГ, а тензор VE - инвариант, не зависящий
от базиса.
В применении к кососимметричрому тензору Я формула (15) преобразуется к
виду
VXfl = VX((oXE)i=rsX ХЕ j=rJX Xr^ rft =
Зю ..с h . ды
=WbkT rkrrs'W
Отсюда следует
VXO = умт - Еуш. (18)
Ц (УХЙ) = -2ум. (19)
§ 3. Примеры применения набла-оператора
Здесь приведены формулы, определяющие дифференциальные операции над
