Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 600

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 594 595 596 597 598 599 < 600 > 601 602 603 604 605 606 .. 942 >> Следующая

причем qst-компоненты Q' в том же триэдре. Они оказываются равными 911
=дг1 cos2 W + 922 sin2 со - 2д12 cos О) sin (о,
q22 = q31 sin2 со -(- 922 cos2 со-f- 2g12cos w sin со, (24)
ql2 = (q22- g11) cos (o sin (o+ g12 cos2 (o,
^3i = 9З1 cos (o-f- 923 sin (o, q23 = -931 sin 0) + 923 cos (o, qs3 =
q33. (25)
Формулы (24) определяют преобразование компонент qa$ тензора двух
измерений саср при повороте осей Cj, с2 на угол со. Инварианты этого
тензора равны
д^ + д22 =911 + 922, qllq22_q12^ = qllq22_q12^ (20)
- это результат исключения со из трех уравнений (24). Исключение со из
двух уравнений (25) определяет инвариант
931"_|_ff23* = ^3lS_|. q2S\
В число аргументов включается также /3 (Q) - результат исключения со гз
пяти уравнений (24), (25). Скалярный инвариант в группе трансверсальной
изотропии оказывается функцией (не обязательно полиномом) пяти аргументов
ф = ф(?п + (?221 qiiqM_qi*t g33_ 931*4.9232, /з(0)). (27)
§6]
СКАЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЕКТОРОВ
457
Его можно представить и функцией аргументов
<P = <P(/i(Q). (Q), /з (Q). q33, q3X' + q32*+q33*)=;
= 9(7i(Q)> 73 (Q), /з (Q), c3-Q-c3, c3-Q2-c3). (28)
7. Изотропный скаляр сохраняет форму функциональной зависимости от
компонент тензора Q при всех преобразованиях 0" (поворот на любой угол
вокруг произвольно направленной оси). Аргументы в (28), зависящие от с3,
отпадают
Ф = Ф (MQ)> MQ). MQ))- (29)
Конечно, в это представление не входит базис, в котором был определен
тензор Q. Определение изотропного скаляра заключено и в записи
V0": ф (Q)=cp(0T.Q-0). (30)
Доказывается обратное предложение: скалярная функция над симметричным
тензором представляет скалярный инвариант тогда и только тогда, когда она
представима функцией инвариантов этого тензора. Дополнением является
утверждение: инвариантный скаляр, являющийся полиномом от компонент
симметричного тензора, представйм полиномом от его инвариантов Ik{Q).
8. Число слагаемых полиномиальных инвариантов второй (ф2) и третьей (ф3)
степени.
а. Триклинная группа. Форма ф2 содержит 21, ф3-56 слагаемых. В остальных
группах число слагаемых снижается.
б. Моноклинная группа. Квадратичная форма п переменных содержит
¦7Гп(п-f 1) слагаемых; всего в ф2 от переменных q11, q22, q33, q23
возникнет
10; 911 войдет в ф3 как qllS, трехкратно как произведение qlx*на q22,
q33, q23, шесть раз как произведение qu на квадратичную форму этих
величин и еще три раза в произведение q11 на qi2S, q21\ q12q31- всего 13
слагаемых. В дальнейший счет qn не входит. Теперь такой подсчет для q22
дает 6, для q33-три слагаемых. Всего ф2 содержит 13, ф3-32 слагаемых.
в. Группа opmomponuu. Формы ф2 и ф3 содержат 9 и 20 слагаемых.
г. Группа кубической симметрии. Формы ф2 и ф3 содержатб и 9 слагаемых.
д. Группа трансверсальной изотропии. В ф2 входит 5, в ф3-8 слагаемых.
е. Группа изотропии. В ф2 войдут слагаемые /? (Q), /2 (Q), в ф3-слагаемые
l\ (Q), /i(Q) /2(Q), /3(Q)-см. также (1.15.16), (1.15.14).
§ 6. Скалярная функция векторов
Скалярами, определяемыми по двум векторам а, Ь, являются их скалярные
произведения а-а, а-b, b-b или выражающиеся через них величины, например,
| axb |2 = a-ab-b- (а-b)2. Тремя векторами определяется в числе прочих
скаляр а-(ЬХс), представимый через попарно взятые скалярные произведения
этих векторов
а-а а-b а-с a-(bxc) = b-a b-b b-c .
с-а с-b с-с
При ортогональном преобразовании a-b = a'-b'. Поэтому скаляр ф(а-Ь, b-с,
с-a, а-а, b-b, с-с) = ф (а'-Ь', b'-с', с'-а', а'-а', Ь'-Ь', с'-с')
с°храняет форму зависимости от компонент входящих в него векторов в
базисах, связанных ортогональным преобразованием. Это - изотропный
скаляр.
458
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Доказывается и обратное предложение: скалярная функция векторов изотропна
тогда и только тогда, когда ее представление нерез компоненты векторов
пред. ставимо в виде
Ф (asb\ bscs, csas, asas, bsbs, cscs) -
= Ф (gskasbk, gskbsck, gskcsak, gSkasak, g^hbsbk, gskc?ck)
и т. д. Базисные векторы могут входить в представление изотропного
скаляра только через компоненты единичного тензора. Сказанное, конечно,
относится к любому числу векторов.
§ 7. Тензорные функции тензорного аргумента
Понятие изотропной функции обобщается на тензорные функции от тензорного
аргумента. Функция F (Q, S, ...) называется изотропной, если для всех
тензоров О ортогональной группы выполняется соотношение
F' = О1 • F (Q, S, ...)-0 = F(0T-Q-0, 0rS-0, ...)= F(Q', S', . ..). (1)
Далее рассматривается изотропная функция одного тензора. Примерами служат
F (Q) -- Q2, 0T.Q2 0 = 0T.Q 0 0T-Q-0 = (0T-Q.0)2 = Q'2
и вообще любая целая степень Qra.
Заменив в выражении целой функции
F (к) = с0 + с{к -|- с2к2 + с2кх + ... (2)
переменную к тензором Q, получим представление тензорной функции
F (Q)
степенным рядом
¦ F (Q) -c0E + c1Q + c2QB + c3Q:* + ... = (c0-LClK1 + ciKl+ ...) eiei +
~Г (СоН~ ci^2 "Г • ¦ •) (Cq -j- C2^3"f" . . .)
^3^ * (3)
Здесь ks, es, es-главные значения и главные направления Q. Тензор F имеет
Предыдущая << 1 .. 594 595 596 597 598 599 < 600 > 601 602 603 604 605 606 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed