Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 60

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 942 >> Следующая

волны с медленно изменяющейся амплитудой 1). Хорошо известно, что средняя
сила пропорциональна квадрату амплитуды волны, поэтому потребуется
провести вычисления во втором порядке. Примем гамильтониан в виде
Hw{p, х, /) =-~р*~ееФ (ekx) cos (kx- со/), (2.5.66)
2/га
где параметр е соответствует адиабатическому возмущению. Вводя
расширенное фазовое пространство и считая Е = -Hw импульсом, канонически
сопряженным времени /, находим
НАр, Е, х, /) =-- р2 -f Е -р ееФ (ekx) cos (kx-со/). (2.5.67)
2/га
С помощью производящей функции
Т'2 = (-йх-fco t)Jb-\-kxJ^ (2.5.68)
имеем
с- dF 2 , dFz ,
Е = т- = со/е, ф = -- = йх,
ot dJ ф
(2.5.69)
dF2 и, Т j ч n dF2 i и
p=-- = k(Jv-Je), 0 = --j- = co/- kx.
ox ^ d/e
Новый гамильтониан H зависит от быстрой 0 и медленной еср фаз: Н = Н0 -f
ееФ (еф) cos 0, (2.5.70)
а гамильтониан невозмущенного движения

Но = {JсР - ^е)2 + (2.5.71)
определяет частоты колебаний
Ь2
соф = -- (Jv - J0) = К, (2.5.72)
h2
- {Jv-Je) = 4>-kVi. (2.5.73)
О Это неудачный пример для демонстрации преимущества метода
преобразования Ли, поскольку рассматриваемая задача гораздо проще и в
более общем виде решается с помощью классического метода усреднения (см.,
например, [453], § 30).- Прим. ред.
Каноническая теория возмущений
159
Условие адиабатичности (соф сое; е = 1) требует, чтобы частица была
далеко от резонанса с волной
и,. (2.5.74)
СО
------I
k
Введем теперь преобразования Ли. В нулевом порядке по е гамильтониан Я0 =
Яп, а в первом порядке
Ю() + ?0) - Н1 ~ еф cos 9- (2.5.75)
дв v д (бф)
Функцию необходимо найти с точностью до е, поэтому полагаем
w± = Ицг s(r)n,
(2.5.76)
Нх = Я10-геЯ1,
и находим
ю0-^- = Яю-еФсо"0, (2.5,77а)
_gg!n_ = ^ дш10 (2.5.776)
0 дв ф д (еф) v '
Так как среднее от еФ cos 0 равно нулю, то выбираем Я10 = О и интегрируем
(2.5.77а)
w10= ^L_sin0. (2,5.78а)
Шд
Используя это выражение в (2.5.776) и полагая Я1Х = 0, после
интегрирования находим
_Л_ cos е_ (2.5.786)
(00 (00
Переходя ко второму порядку теории, мы должны найти w2 в нулевом порядке
по е, поэтому опускаем в уравнении (2.5.316) члены высших порядков,
учитываем, что Я2 = О, Ях = 0, дН 1/5У0= = 0, и получаем
и ЯЛд=2Д0 + ЯЛ<В ЛЛ. (2.5.79)
<зе а/е ае v '
Выберем Я20 так, чтобы исключить секулярность по 0:
Я2о =--------/. (2.5.80)
2 \ а/е дв /в v '
Вычисляя это выражение с помощью (2.5.78а), приходим к квадратичной
зависимости гамильтониана от амплитуды волны
Я20 = Л е2фЛЛЛе__, (2.5.81)
4 <"й a/fi
160
Глава 2
Возвращаясь в усредненном гамильтониане Н = Н0 + + е2Яг
к исходным переменным, получаем выражение в виде суммы кинетической и
эффективной потенциальной энергии (е = 1):
~й Р2 е2Ф2 (kx) Р2 I п / \ 4- /о с ог>\
я'*'=лг~ + д ;------------г^- = 41-+^фф(л;) = const. (2.5.82)
2/я 4/п (со - to*)2 2/я
Средняя сила равна
Р^_ди9 ф_ф = -ФФ^-. (2_5 83)
дх 2т (со - to*)2
Видно, что эта сила обращается в нуль вблизи максимума или минимума
амплитуды волны, причем минимум отвечает устойчивым колебаниям частицы.
При приближении к резонансу средняя сила, согласно (2.5.83),
неограниченно возрастает, но при этом нарушается условие адиабатичности
(соф <7 со0). Этот случай можно исследовать в рамках резонансной теории
возмущений, или в более высоком порядке, с помощью комбинации метода ДЛТ
и преобразований Ли, как это будет описано ниже.
Устранение резонансных знаменателей. Адиабатические инварианты, как это
было показано в § 2.4, в окрестности резонансов претерпевают
топологические изменения. Для отдельного резонанса замена переменных вида
(2.4.6) (резонансные переменные) позволяет учесть изменения топологии и
составляет основу резонансной теории возмущений, изложенной в п. 2.4а в
первом порядке по е. Поскольку для двух степеней свободы движение
полностью разделяется на быстрое и медленное, то методы этого параграфа
применимы и для нахождения интегралов движения более высоких порядков
вблизи резонансов.
В работе [290 ] Мак-Намара соединил технику преобразований Ли с методом
ДЛТ (п. 2.4г). Напомним, что с помощью этого метода для определенного
класса задач удается построить интеграл движения первого порядка с учетом
влияния сразу всех первичных резонансов. Метод основан на том факте, что
если J - интеграл невозмущенной системы, то и любая функция /" (J) также
является интегралом. Выбирая /0 (J) так, чтобы производная dIJdJ
обращалась в нуль при резонансных значениях J, можно учесть
топологические изменения интеграла I возмущенной системы. Техника
преобразований Ли позволяет легко ввести функцию/о вместо J следующим
образом. В соответствии с методом этого параграфа эволюционный оператор Т
вычисляется с точностью до желаемого порядка я. Затем, вместо записи
интеграла в форме (2.5.63), т. е.
7= 77 = const, (2.5.84)
положим
7 = Т'_1/0 = const (2.5.85)
Каноническая теория возмущений
161
и выберем /0 (J) так, чтобы устранить полюсы функции / (J). МакНамара
показал, что необходимость выбора /0 (J) возникает только после того, как
Предыдущая << 1 .. 54 55 56 57 58 59 < 60 > 61 62 63 64 65 66 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed