Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
ф(9и, 922, q^)=7p(q^, ?22......?31). (2)
Например, скалярнозначна функция
Ф = а-СНЬ.
Непосредственно проверяется, если вернуться к исходному базису, что ср- ф
9 = a-Q-b = a-rir's-Q-Hr<-b = asbtqst = ambnqmn, (3)
как и требуется.
Принятое в анализе определение производной
/'(*) = lim i-[/(x + A) - f(x)] (4)
h ->- о A
необобщаемо на функцию тензорного аргумента. Следует исходить из
определения производной, как множителя при линейном относительно вариации
6-'-' независимого переменного приращения (вариации) бf функции /
6/ = /(х+6х)-/(*) = /' (х) 6х. (5)
Вариация скаляра (1)
6ф (<7n, q22, ..., 933) =^-bqst (6)
dqst
S3]
ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СКАЛЯРА
449
представима в форме двукратной свертки тензоров
?QT;=r/"r" б9""'> ~;<V' --=Фо--бО'г = 6ф
oqsl aqsl
и естественно, сославшись на (5), назвать ф" производной ф по тензору Q;
по (1.1а) и (1.2а) величина (pQ - тензор второго ранга
= 8ф = Фо--бОт- (7)
Дифференцирование в (6) приводится по всем (девяти) компонентам тензора
Q. Для симметричного тензора во избежание ошибки следует заменить
ср (<?"*") = ф (^(qmn+qnm)
н после дифференцирования по каждой из девяти компонент принять qmn =
q"m. Получим
q = qt: Фа = у^7{(Г^+г^), (8)
откуда следует, что производная скаляра по симметричному тензору -
симмет-
ричный тензор
Q = QT; (cpQ)T = <pQ. (9)
Формальные правила дифференцирования суммы и произведения переносятся на
операцию дифференцирования скаляра по тензору. Например,
6фФ - - фбф-j- фбф - (Фф0 + фф0) • • 6QT, (фф)а = ффд+фф0. (Ю)
§ 3. Формулы дифференцирования скаляра
Приводимые здесь формулы найдут многократные применения в основном
тексте. Их вывод основан иа инвариантном представлении (7) вариации 8ф.
1. Производные инвариантов тензора. Первый инвариант /, (Q)-линейная
функция Q. По его определению (1.7.4) имеем
б/i (Q) = /t (Q+8Q)-/,(Q) = E ••(<} +8Q)-E.-Q=E--SQ = E.-8QT, так что
h (Q)" = E.
Далее, вспомнив правила свертывания (1.7.16), (1.7.17), получаем
6/i(Q2)=/i((Q + 6Q).(Q+6Q))-/1(Q2)-=/1(Q.6Q+6Q-Q) =
= E..Q.8Q+E.-6Q-Q = Q.-8Q-LQ- .8Q = 2Qr- 6QT,
4(Q2)q = 2Qt
н аналогично
S/i (Q3) = /1(Q2-6Q-|-Q.6Q-Q+SQ-Q2)=3Q2:.6Q -3Qt2.-6Qt,
/1(Q3)q = 3Qt2.
Пришли к выражениям производных первого инварианта степеней тензора
/i(Q)q = R. /hQ2) q-2Qt, MQ3)q-=30t2. (1)
^ А. и. Лурье
450
ПРИЛОЖЕНИЕ II. ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ
Из них по (1.7.9), (1.7.11) и используя теорему Гамильтона-Кэли, получаем
/2(Q)q=E/1(Q)-Qt, /3(Q)q = Qt2-/i(Q)Qt + E/2(Q) = /3(Q)(Qt)-1.
(2)
Эти важнейшие формулы позволяют составить выражение производной скалярной
функции инвариантов
ф (MQ). MQ). /*(Q))q =
4-/ 101
Е-|тг
131
2. Производная ф(0-0т). Заменив в исходном определении (2.7) Q на QT,
имеем, сославшись еще на (1.7,13),
бф = ф0-.бОт = фдТ--бО = фтт..бОт, ф()тт = Фо, (4)
откуда снова следует (2.9). Рассматривая теперь ф, как функцию
симметричного тензора S = Q-Qr, имеем
5ф = ф0 • -бОт = ф5 • -6ST= ф^ qT- -(Q-SCf-f 6Q-QT) =
-,фо qT.q-6q^+qT.?q qX"SQ = [?q qT-Q+(9q qT)t-Q]..6Qt
и no (2.9)
'Pq^Vq1'0, фа.от==Тф9'°-1' (5)
причем последнее соотношение имеет место, если Q - неособенный тензор.
После замены Q на QT имеем, учитывая (4),
V = 2V.Q'QT==(pTQ' ^ = 2Q'(V.q)T>
так что
ф0=2<"-ф0т.ц- ?QrQ=yQ_1-cPQ- (6)
3. Формула связи ф0 с фа-1. Имеем
Q Q_1 = E, 5Q-Q-1 -| Q.6Q-i = 0, 6Q-i = _ Q-^fiQ-Q-1 и поэтому
бф = фд- •бОт = ф0_1. -6Q~lT = -ф0_, - •Q_lT-6QT-Q_lT =
= -Q-iT-9q_i-Q-1t--6Qt,
так что
Qr ¦ Фо = Фо-1'0_1Т- (?)
4. Производные билинейных форм a-Q-b, a-Q2-b. Имеем
6(a-Q-b) = a-6Qb = SQ--ba = ab--5QT, (a-Qb)Q=ab, (8)
6(a-Q2-b) = a-(Q SQ ! 6Q Q)-b = (Q 6Q+6Q Q)- ba =
= 6Q' (ba-Q ( Q'ba) = (QT ab-yab-QT)- 6QT,
так что
(a-Q2-b)Q =a Qb-( aQ-b, (a-Q2-b) T =ba-Q-pQ ba. (9)
производная 'гензора по тензорному аргументу
451
5. Производные lt(Q) по Q'3. Имеем 8/х (Q) = Е • -6QT = /1 (Q)Q2- •
(QT-SQr + SQT• QT) -
= [/i(Q)q2-Qt + Qt-/1(Q)q2]--5Qt
Тензорному (матричному) уравнению
/, (Q)q2-Qt+ <Г-Л (Q)Q2 = E
удовлетворяет решение
Аналогично приходим к тензорному уравнению
h (Q3)q2*Qt + Qt-A (Q:!)Q2 = 3Qt2,
имеющему решение
/t (Q:i)Q2 = y Qt. (11)
Конечно, /1 (Q2)q3 = Е. Обратившись к (1.7.9), (1.7.11), приходим к
формулам MQ)q. = 4-[/i(Q) Qt-1-E],
1 1 (l2)
. /3(Q)Q2 = -2'[Qt-/i(Q) Е-|-/2 (Q)QT_1]=y /3 (Q) QT~2-
В (10) и (12) предположено, что Q-неособенный тензор.
§4. Производная тензора по тензорному аргументу
В векторном базисе задается девять функций ртп компонент тензора Q
Р тп^ Р тп (?П......931)- (1)
В новом базисе г5 им приписываются значения
Pst=rs-rmrrr"pmn(qWr1-rflrg-r1 q^-rjg-r1) (2)
и этим определяется тензор второго ранга P(Q)
р (Q) = Pstrsrf = rsr^ ¦ г(r)йг/¦ гПртп = гтг"р,яп. (3)
По (2.7) производная PQ представляется выражением
PQ =rmrn (pm,t)n =rmrnrsrf . (4)
dqst
По (3) и (2.7)
6Р = rmrnbpmn = г,лгл (Ртп)а ¦ 'SQT -=rmrnrJr* . 6QT (5)
dqst
и по (4)
6P = Pq..6QT. (6)
Здесь тензор второго ранга 6Р линейно связан с 6QT соотношением вида
(1.2в); величина (4), названная производной тензора Р по тензору Q,
