Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 594

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 588 589 590 591 592 593 < 594 > 595 596 597 598 599 600 .. 942 >> Следующая

u = (Q-QT)1/2, V = (QT-Q)
Симметричные тензоры U и V, как говорилось в § 9 в связи с определением
корня нз положительного тензора Q-QT, положительны.
Ортогональность О при таком определении U и V-следствие соотношений
0 = U-i.Q, 0T = QT-U-i, O.Ot = (Q-Qt)-i/2-Q-Qt(Q.QT)-,/2 = E>
0 = Q.V~1, 0T = V-iQT, 0T-0 = (QT-Q)-'/2.QTQ.(QnQ)-V2 = E.
Определения тензоров U и V согласуются с соотношениями
U 0 = 0 V, U = 0 V От, V = 0T U 0, (3)
если тензор О в формулах (1) один и тот же. Действительно, как и
требуется V2 = От • и • О • От • и • О = От • и2 • О = QT • Q.
J 13] СУММА ШАРОВОГО ТЕНЗОРА И ДЕВИАТОРА 44]
§ 13. Представление тензора суммой шарового тензора и девиатора
По тензору Q определяется его шаровая часть 1/3/J (Q) Е, а отклонение
тензора от этой наиболее простой структуры определяется его девиатором
dev Q
Q = y EMQ) + devQ. (1)
Из определения следует, что /j(devQ) = 0. Первый инвариант
кососимметричного тензора й равен нулю, беуй = й, и рассмотрение его
девиатора теряет смысл. Далее предполагается, что Q-симметричный тензор
Q = QT, Q-e = Ae, dev Q-e= |\ - у Д (Q)j e = -
xe.
*, = 1,- /1(0) (s = 1,2,3). (2)
Главные направления тензоров Q и dev Q совпадают, а главные значения ks
девиатора определяются формулами
_1_
3
По (9.8)
Д (dev Q) = X! + x2 + x3 = 0,
1 2
12 (dev Q) = щу.2 -ЬхгХз + ХзХ! = /2 (Q) - "g" (Q). ^
Jз (dev Q) = xix2x3 = 13 (Q) -g- I\ (Q) I2 (Q) + 27 ^
Еще одно представление второго инварианта девиатора следует из (7.8) /а
(devQ) = -l(
При обозначениях
/2 (dev Q) - -^~ (^i-Ьха-Ьхз) - -g- [(^1-Я2)2 -)- (Я2 -Я3)2-)- (Я3-
Ях)2]. (4)
- /2 (dev Q)= jg2, /3 (dev Q) = -j- (5)
характеристическое уравнение девиатора приводится к виду
4х3-g2x-g3 = 0. (6)
Переход к нему от уравнения (p(k) = Qi воспроизводит хорошо известный
прием
сведения полного кубического уравнения
У3 + аУг + by + с = О
к стандартной форме
х3-\-рх-\- q = 0.
Дискриминант уравнения (6)
Д =^-27^=64
97
| /2 (dev Q) р__ /| (dev Q)] > 0, (7)
так как собственные числа х5 вещественны. Это "неприводимый случай",
когда выражения в радикалах вещественных корней нельзя избавить от
комплексных величин. Численные значения корней разыскиваются в
тригонометрической форме
442
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
причем ф определяется подстановкой в (6)
§з = ;рр=- (4 sin3 ф -3sin ф) = - (у) /гsin 3-ф, (<))
так что A = g2COS23\[) > 0, как и требуется. По (9) находим три
значения х,
а по ним главные значения девиатора
Xl = sin ф, x2 = ~\f ^ sin (ф+-у-) > Кэ= j/^y sin (ф+у-) ,
Ш <y- (10)
В применении к девиатору теорема Гамильтона - Кэли приводится к виду (dev
Q)3+ /2 (dev Q) dev Q - Е/3 (dev Q) = 0 и из нее следуют формулы
/2 (dev Q) =---^ It ((dev Q)2), /3 (dev Q) = y /г ((dev Q)3),
/l(devQ)=y/1((devQ)4) (II)
и т. д. Сравнение (6) с дифференциальным уравнением Г2 (г) = 4Г (*)-*"?
(г)-ёз
для функции ^(г| g2, g3) Вейерштрасса обнаруживает, что xi, Хг, х3 -корни
(г1§2> 8з), стандартно обозначаемые еи ег, е3.
Формулы (11) известны в теории эллиптических функций
2,2,2 1 3,3,3 3 4,4.4 I2 ,, г,*
Х1+Х2 + Хз-2 82' Xi-f-Xa-f-Xs - у^з, + = у gz- (12)
§ 14. О тензорах высших рангов
Величиной
"Q = 9jlS2 "У г г, ...г rSft + 1 ...rSn (Г)
sk + i - snSt Sz sk
определяется тензор n-го ранга. Его ранг снижается на две единицы при
свертывании по двум индексам с номерами р и v. Получающийся тензор может
быть обозначен
(ц-v) (V• (X)
<n-2)Q = "Q=JlQ . (2)
Например, свертывание тензора третьего ранга 3C = Qa (диады
тензора второго
ранга и вектора) приводит к векторам
(1-2) (2-3) (3-1)
3С = lx (Q) а, 3С = Q-a, 3С = QTa.
Важным примером тензора третьего ранга служит тензор Леви-Чивита
e = esiqrsrtrci^e^rsr1rq. (3)
Его компоненты определяются формулами (2.3); все свертывания приводят
к нулевым векторам.
§14]
О ТЕНЗОРАХ ВЫСШИХ РАНГОВ
443
Свертывание тензоров четвертого ранга приводят к тензорам второго ранга.
Например,
(1-2) (1-3)
4C = PQ, 4С =/i(P)Q, 4С = Р -Q и т. д.
В частности, все свертывания тензора ЕЕ дают тензоры ЗЕ, Е. В числе
свертываний тензора шестого ранга QQQ имеются тензоры четвертого ранга
Q2Q, QQ2; двукратное свертывание приводит к тензору второго ранга Q3.
Операция сопоставления тензору n-го ранга тензора (п-1)-го ранга
осуществляется векторным перемножением двух базисных векторов на местах
р, и v (ц> v). Векторное произведение вписывается в месте v (слева) или в
р (справа). Возможны обозначения
•*- [nxv] [цхт]
(n-DQ= "Q , (n-DQ= nQ . (4)
Вектор, сопоставляемый (сопутствующий) симметричному тензору второго
ранга - нулевой
qst Tt xrs = e1sqqstTl = estqqshl = qstrs X rt = 0
и сопутствующий Q вектор 2m определяется только кососимметричной частью О
этого тензора по формулам (11.1), (Л.2).
В число тензоров второго ранга, сопоставляемых тензорам Qa, aQ, входят
тензоры (6.9)
Qxa. = qsfamefmqrsr(i = - (axQT)T, aXQ = - (QTXa)T. (5)
В частности, для симметричного тензора
Qxa = - (axQ)T, axQ = - (QXa)T (6)
и легко проверяется, что первый инвариант этих тензоров равен нулю
Предыдущая << 1 .. 588 589 590 591 592 593 < 594 > 595 596 597 598 599 600 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed