Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Получаем
ззз
Q3 = 7i(Q) S *Jeje*-MQ) 2 WS+MQ) 2 е^'
s = 1 s = 1 s = 1
438
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
откуда по (16) сразу же следует
Q3 - h (Q) Q2 + /2 (Q) Q-/3-(Q) Е = 0 (21)
- "тензор удовлетворяет своему характеристическому уравнению". Следствием
для неособенного тензора является соотношение
Q-1=T^Q)[Q2-/l(Q)Q+/2(Q)E]- (22)
Неравенства для инвариантов положительного тензора
MQ),Ss3/'/3(Q), /2(Q)Si3/;/"(Q), /J(Q)^3/*(Q). (23)
Первые два следуют из теорем о среднем геометрическом и среднем
арифметическом
(W,",)''¦< J-с, + х!+х,), (^)v,< тЦ+х+ъ)-
Третье следует из легко проверяемой по (8) формулы
/12(О)-3/2(0)=^[(А1-?.2)2 + (Л2-Аз)2 + (Яз-?н)2].
Только для шарового тензора неравенства (23) становятся равенствами.
Третье неравенство (23) не требует, чтобы тензор Q был положителен.
§ 10. Симметричный тензор
Существенное упрощение, вносимое предположением о симметричности тензора,
состоит в том, что отпадает различие между произведениями справа и слева
тензора на вектор. Триэдры е^, еА совпадают-это единственный орто-
нормированный триэдр, и по (9.10), (9.11)
<Vefe = 0, s ф k\ е^-е^ = 1 (s=l, 2, 3). (1)
Корни определяющего уравнения симметричного тензора вещественны;
действительно, собственные векторы для комплексно сопряженных корней и Л2
= ^] были бы также комплексно сопряженными
a+ib - а - tb
е1 = -===г, е2 = в]
У~а2+Ь2 yV+62
Но тогда е!-е2 = 1, что противоречит условию е1-е2 = 0.
По (9.17)
rm "ётт COS2 (е^, Гт) -
, ётт
(2!
(не суммировать по т, s!). Этими формулами определяются с точностью до
знаков направления es в векторном базисе г;л.
Два ортонормированных триэдра е^, es совместимы друг с другом с помощью
ортогонального преобразования. Поэтому два симметричных тензора с равными
инвариантами можно связать соотношением (см. § 8 в конце)
з
Q = 0T.P.0, 0=Ve,es'. (3)
S = 1
J ц] КОСОСИММЕТРИЧНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ТЕНЗОРЫ 439
§ 11. Кососимметричный тензор. Ортогональный тензор
Заменив в представлении кососимметричного тензора диады векторными-
произведениями г;Хг^, получим величину
о=уО)1,Г(Хгл=|-(1)йе(^г? (Q=^o)strsrt), (1)
называемую сопутствующим тензору Й вектором. Его ковариантные компоненты
по (2.1) равны
coj = ~ V"g((o32-со23) = V~g(0S2, (о2= V~g(o1:!, (o3=yg(On. (2)
Следствием определения (1) являются соотношения
Й-а = с"Ха, а-Й = аХш. (3)
Действительно,
йХа = у e(j,os(r?xa=ye(j,e''"os(fl"r" =
=\ (бГб?-6Гб?) costamrn - (оптаттп = й-а,
как и требовалось. Рассматривая теперь квадратичную форму, образуемую сим
метричным тензором Йа
а*Й.Й-а = (аХО))-(<"Ха) = а-[о)Х(о)Ха)] =а-0)й)-а-а2о)-о) = а-(о)(о -Ет-
(о)-а,
имеем
Й2 = шо) - Есо-со. (4)
Инварианты кососимметричного тензора определяются формулами
/х(Й) = 0, /2(Й) = -1/1(Й2) = о)2, /3(Й) = 0. (5)
Определяющий полином (9.6) и его корни оказываются равными
!р (Я) = - Я (Я2+со2), Я1==-/со, Я2 = /со, Я3 = 0. (6)
Правые и левые векторы е3, е3 по (9.1) определяются из соотношений
Й-е3 = соХе3 = Я3е3 = 0, е3-е3=1, е3 = е3 = -^-. (!)
Поэтому
й-е, = соХе1 = сое3Хе1 = -/соех, е1 = /е3Хе1, е2 = -/е3Хе2;
е1.Й = е1Хсо = сое1хе3 = -/сое1, ех = -/е3Хе1, е2 = /е3хе2
И сравнение этих соотношений позволяет принять
е! = е2, е2 = е1, Е = е1е2 + е2е1 + е3е3.
Комплексно сопряженные пары векторов (ег, е2), (е1, е2) представимы в
видах
ei= e2 = -pn=-(ci-(с2), e2 = e1=-i=-(c1+/c2)
и условия е1-е1 = 1, е2-е2 = 1 удовлетворяются, если принять |с1| = |с2|
= 1. Получаем
Ci-/с2 = /е3Х(с1 - /с2), с1 = е3Хс2, c2 = C!Xe3
440
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
- триэдр вещественных векторов сх, с2, е3 ортонормирован, расположенные в
плоскости, перпендикулярной е3, векторы сх, с2 определены с точностью д0
поворота вокруг е3. Тензор О по (9.14) представляется выражением
ii = - т (eje1 -е2е2) = - ito (ехе2- е2ех) = to (схс2-с2сх) =
= сое3ХЕ = (оХЕ = ЕХш. (8)
Ортогональный тензор. Его инварианты определены формулами (8.17);
характеристическое уравнение приводится к виду
5* (Я) = - X3 + (1 + 2 cos to) (к2-Я) + 1 = (1 - К) (Т.2 - 21 cos ш + 1)
= 0 и собственные значения оказываются равными
XJ = e-ia, 12 = еш, ?.3=1. (9)
Для корня 7.3
е3-0 = е3, 0-е3 = е3
и этим определяется направление е3 = е3, остающееся неизменным при
ортогональном преобразовании-ось осуществляемого им поворота. По (9.14)-
0 = е1е1е" ш4-е2е2е'ш +e3e3 = (e1e1-f-e2e2) cos to - (eie1 - е2е2) i sin
co+e3e3
и это выражение приводимо к вещественному виду (8.16), если принять
ех = е2 = -~ (сх - tc2), е2 = е1 = -у=- (сх+ ic2),
причем удовлетворены все условия (9.11) в ортонормированном триэдре с1;
с2, е3. Получаем, как и требуется
О = (cjCj -f с2с2) cos to -f (cxc2-c2Cj) cos to -{- ее =
= Ecosto-f-(l-cos to) ее-eXEsinto. (10)
§ 12. Полярное представление тензора
Неособенный тензор Q представйм произведением симметричного
положительного тензора U (или V) справа (или слева) на ортогональный
тензор
Q = U.O, Q = O.V. (1)
Это следует из определения ортогонального тензора
Q.QT = UOOTU = U2, QT-Q = VOT-O.V = V
