Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
а'=а-0 = От.а, Ь' = Ь.О = От.Ь. (2)
Тогда
а'-b' = а-0-От-Ь = а-Е-Ь = а-Ь (3)
и, в частности,
а'.а' = а'2 = а-а = йа (4)
- ортогональное преобразование не изменяет длины вектора и сохраняет угол
между векторами.
§8]
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ТЕНЗОР
433
Полагая
0 = of<rirf = o-"r'Brn, ' (5)
имеем
0.0Т= о^о%г^'Тпгт = o°to?rsrm - Е = 6fnr5r"
- приходим к шести условиям ортогональности, записываемым в видах
04°т = 6т> °st°mt = bSm> g*sgtrOktOmr = SSm. (6)
На девять компонент О наложено шесть связей-ортогональный тензор
определяется тремя независимыми параметрами. Далее,
detO=detOT, (detO)2=l, det 0=1 или . det 0 = -1. (7)
При det Q = 1 тензор называется собственно-ортогональным, им
осуществляется поворот системы векторов; ниже приводится представление
тензора О через угол осуществляемого им поворота и единичный вектор оси
поворота. При detO = -1 поворот сопровождается зеркальным отображением
оси. Далее речь будет преимущественно идти о собственно-ортогональных
тензорах, и, если не оговорено противное, наименование ортогональный
тензор (тензор поворота) применяется к собственно-ортогональному тензору.
Базисные триэдры rs, rs преобразуются при ортогональном преобразовании в
повернутые триэдры
Г1' = г,-0 = 0т.г" г'* = г*-0 = 0т-г* (8)
и обратно
ri = rs-0T = 0-rjr, rr = r''s-0T = 0-r'5. (9)
Компоненты а' в повернутых базисах равны, конечно, компонентам а в
исходных-вектор повернут вместе с базисом
a,=a-0 = flJri*0 = asr'", as = as, a's - as. (10)
Это относится и к тензору второго ранга
Q' = 0T.Q-0, Q = 0-Q'.0T, q'st=qst. (И)
Диадное представление ортогонального тензора по (8) можно записать в
видах
0 = rtr't = rtr/. 0T = r'fr* = r<rf. (12)
Например, а-0 = а-г*г'* = а*г*, что и требуется. Следует отличать,
конечно, компоненты а' в повернутых базисах (as = as) от компонент
вектора а в этих базисах
& = a)(r's = akrk, = akrk-rs = akrk-0'I-rs = ofak (13)
и т. д.
Аналогично для тензора второго ранга
<7 yt = 0s)i0trQkr> чУ = Чкт°1к0'Г (14)
- повторены формулы (7.3) в применении к ортогональному преобразованию.
Инварианты ортогонального тензора (тензора поворота), определяемые по
(7.6), (7.12), (12), (5) и (7), оказываются равными
MO) = rrr"=o?s, /2(0) = /3(0)/1(0т) = /1(0), /"(0) = 1. (15)
434
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
При повороте вокруг оси i3 декартовой системы осей на угол ш
ii = l1cos 0)-j-ia sin со, i2 = -sin со -j- i2 cos со, 13 = i3
и no (12)
0 = ii (*1 c°s co + h sin (o) + i2 (- ix sin to + i2 cos to) + i3i3 =
= (11*1+1212) cos co+(ixi2 -i2ix) sin co + i3i3 =
= E cos ш + i3i3 (1 -cos со) - EXi3 sin со,
так что независимо от выбора векторного базиса, назвав е единичный вектор
оси поворота, приходим к инвариантному определению тензора поворота
О = Е cos со + ее (1 -cos м) + еХЕ sin со, (16)
содержащему лишь задания угла и оси поворота. Из него следует
МО) = /2 (О) = 1+2 cos со, - 1 < /] (О) < 3. (17)
По (14) и (6)
rts=qkr°W=<!кЛ=яЧк' л (Q')=/i (Q).
Но инварианты /2 (Q'), 13 (СГ) представимы через + (Q'ft), так что
hm = IkW (ft-1,2,3). (18)
Верно и обратное: при равенстве всех трех инвариантов двух
симметричные
тензоров (/* (Р) = (Q), k=i,2, 3) существует ортогональное
преобразование,
связывающее эти тензоры (P = Q') [См. § 10].
§ 9. Главные оси, главные значения тензора второго ранга
По заданному тензору второго ранга Q определяются векторы храняющие
направления в их произведениях на Q справа и слева
(+е = Яе, ех*0 = Я><ех, здесь Я, Ях- подлежащие определению скаляры. В
другой записи (Q-ЯЕ)-е = 0, ex.(Q-ЯхЕ) = 0.
Заменив здесь Q его диадным представлением через смешанные компоненты,
приходим к системам линейных однородных уравнений
(qj - 6JX) ef = 0 (qS't - d*\x)ef = 0 (3)
относительно неизвестных et, е*; нетривиальные решения этих систем
существуют при равенстве нулю определителей
|^-б)Я| = 0, j q*t - 6*Ях [ - 0, (4)
откуда следует, что Я = Ях. Полином третьей степени по Я
"57" (Я) =3 det (Q-ЯЕ) = | -6fA, I (5)
называется определяющим или характеристическим полиномом тензора, а
уравнение ^7(Я) = 0-его определяющим или характеристическим уравнением.
Корни Ях, Я2, Я3 называют главными (или собственными) значениями тензора
Q.
е, ех, си (1)
(2!
ГЛАВНЫЕ ОСИ, ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ТЕНЗОРА
435
Развернутое представление определяющего полинома имеет'вид
9 ft 9.2, - 9.23 U- >-3 + ?'2(9.1I + 9f2-L9f3) -
с? (X) = det (Q_XE)=
9s, О 93-^i
9.1 ' • 2 т.З |
- Х [(9.*i9.22 - 9.*29\) + (9л?;\ -9f;^3,) + (9!з9\ -9.\9.*3) ] + det Q =
>.*4- /i (Q) я.*-/2 (Q)-| /,(Q). (6)
Здесь использованы представления инвариантов (7.6), (7.8), (7.10). Этим
доказана инвариантность главных значений X,, Х2, Х3 тензора - подобно
инвариантам lk (Q) они сохраняют независящие от выбора векторного базиса
значения. Известно, что полином (X.) представим через его корни
5* (М ^ 0*1 (^2 (Ь,- 9.) =- - X3 -j- X2 (Xj-j-Хз + Хз) -
-X (XiX2-f-X2X3-f-ХэЯ^Х^^э. (7)
Сравнение с (6) определяет инварианты тензора через его собственные
значения l\ (Q) = Xx-|-X2 + X3, /2 (Q) = XjX2-f-Х2Х3 X3Xj, /3 (Q) =
