Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
формулу из другого параграфа той же главы - его номер и номер формулы.
Номера главы, параграфа и формулы указываются в ссылках на формулы в
предшествующих главах.
Приложение I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторные базисы
Векторный базис образуется тремя не расположенными в одной плоскости
(некомпланарными) векторами гь г2, г3. Ортонормированный триэдр, когда он
понадобится по ходу изложения, образуется векторами ix, i2, i3 (i^• i* =
0 при s 7- k, ij-i^ = 1).
Объем v параллелепипеда, построенного на базисных векторах, представ
ляется выражением *)
t1 = Г] • (г2 Хг3) = г2-(г3ХГ]) = r3-(rxX r2). (1)
Взаимный векторный базис определяется тройкой векторов
г1 = - r2 X г3, г2 = - г3Хгь г3 = -ггХг2, (2)
v v v
*) Скалярное и векторное произведения векторов а, b обозначаются а-Ь,
aXb.
§1]
ВЕКТОРНЫЕ БАЗИСЫ
423
перпендикулярных соответствующим плоскостям векторов основного базиса. Из
этого определения следует
три s ф k,
Г-Тк-
( 0 п
I 1 П
при s = k
(3)
(б|-символ Кронекера). Принимаются обозначения скалярных произведений
векторов основного и взаимного базиса
- Ssk - §ks>
rs.rk =
crSft - I
rs-rk = bk =
Легко проверяется, что векторы основного базиса представляются через
векторы взаимного формулами
Г1 = ПГ2ХГ3, Г2 = УГ3ХГх, г3 = ог1Хг2.
(4)
рез
(5)
Действительно,
о (г2 X г3) = - (г3 Хг])Х(г1Хг2) = - [¦ (г3 X rj) - • (r3 X п)] = гх.
Другие представления г3 через тк и обратно даются формулами
giHrk,
'gsk Гй
(6)
В них, как и во всем последующем, опущен знак суммирования по
повторяющемуся верхнему и нижнему индексу ("немому" индексу). Формулы
(6), непосредственно проверяемые по (3) и (4),
Ts-Tt = gsbrt-Tk = gs4k=gSt, Ts-Tt = gskTk-Tt=gst
представляют простейший пример операций подъема и опускания индексов с
помощью величин gsk, gsk.
В ортонормированном базисе г^, конечно, отпадает отличие между основным и
взаимным базисами; но с целью сохранить правило суммирования в принятой
формулировке векторы этого базиса иногда обозначаются if. Например,
представление вектора а в ортонормированном базисе иногда записывается в
видах
a = a-siJ = a,sif.
Здесь, конечно, as=as. В применении к базисным векторам эта запись
приобретает вид
rs - psifci H =
так что
gst - rs' rf - PsPfmlfc' Н
= Pspfft.
(7)
(8)
Записывая теперь v2 в форме произведения определителей
Pll Pl2 Pl3
Р21 Р22 Р2 3
Рз1 Рз2 Рзз
1 pi 2 Pi 3 pi
1 P2 2 P2 3 p2 •
1 рз 2 Рз 3 рз
k k k
Pi Pife Plp2ft PiP3ft
k k k
P2plS P2 P2k P2p3ft
k k k
рзрх* Рз p2ft рзрз/г
no (8) получаем
§11 §12 g 13
§21 g 22 §23
g 31 §3 2 §33
= l§rtl> & = rj-(r2xr 3)=Vg-
(9)
По (6) и (7)
Ts = gskTk = gsbgkiTt' r.s. rm = tfm = gskgkttfm = gs'!gkm
424
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
- матрицы \\gsk\\ и Ugftmll - обратные, их произведение представляет
единичную диагональную матрицу ]| 6т ||
II gsk 1Ы1 gkm || = || Sm II-
Иначе говоря, gsk равно алгебраическому дополнению элемента gsh
определителя Igjftl, деленному на этот определитель. Вместе с тем
| gsk\=g-l' (Ю)
§ 2. Символ Леви-Чивита
Формулы (1.1) и им аналогичные, получаемые по (1*5), можно записать в
виде
Vr'iei" = iV(rAXrt), --esb^rs-^Xr*). (1)
V g
Величины е5м, eskt равны нулю, если в числе индексов skt имеются
повторяющиеся, они равны 1 для последовательности индексов 123 и
получающихся из нее круговой перестановкой последовательностей 231, 312;
они равны - 1 при нарушении этсго порядка (для последовательностей 213,
132,321). При обозначениях
skt _
V g
pSkt
приходим к записям
^skt - Ts'(rkXTf),
?skt
-- rs-(rkxrf),
:kts_
r*xrf = e
Возвращаясь к (1.7), имеем соотношения
rkXTt = 6шгХ
(2)
(3)
(4)
r? = psifc, г4"гя = 8Г = psif pfi* =
k m
- ps pk "
позволяющие представить eskt?mnp в виде esktemnp = Ts- (rkXrt) r".(r"Xrf-
) =
Ps1 Ps ps
Pft pi pf
12 3
Pt p* pt
I rP1 Pi
m Р2 m Рз q tn Ps P<? q n PsPq PsP q
P2 n Рз = q m P kPq q n PkP q Pip q
pi Рз pK Q n PtPq PtPPq
так что
: skt
?mnp .
8f 8f 6 f
6? 6? 61 flg 8? 6?
Отсюда приходим к "правилам свертывания" - формулам для сумм
eSktesnp=3 (e*6?-6ge?)-6| (8sn8f-8sp8?) +
+ 6? (6?6g - 8р8*) = 6g8f - 8?Sg
и далее
eskt&skp = 26p"
с pSkt skt
6.
(5)
(6)
(7)
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВЕКТОРА В БАЗИСАХ
425
Теперь по (4) получаем
гйХг*е^те = 6* ^ktmrs ~ 26mrj = 2rm, откуда следуют обращения формул (4)
rm = jei(/xr<, r- = le""r*xr,. (8)
§ 3. Представления вектора в основном и взаимном базисах
Термину "вектор" теперь часто придается смысл совокупности п чисел,
называемых его компонентами - "вектор обобщенных координат" (qv q2, ...,
qn). В этой книге "вектору" придается его общеизвестный смысл-это
определенная в трехмерном евклидовом пространстве физическая величина,
задаваемая ее численным значением (модуль вектора) и направлением; таковы
скорость, сила и т. д. Выбор базиса определяет компоненты вектора, их
численные значения; конечно, не сам вектор, различны в различных базисах.
Представления вектора в основном и взаимном базисах имеют вид
a = afrJ = air*. (1)
