Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
системе трех дифференциальных уравнений для компонент вектора перемещений
u = R- г - к аналогу "уравнений в перемещениях" линейной теории. Высший
порядок входящих в них производных по времени и координатам - второй.
в) К этой системе уравнений движения добавляется уравнение
теплопроводности (6.9). Конечно, эта же последовательность сохраняется,
если исходят из задания внутренней энергии е\ используются формулы (5.4)
или (5.6).
Исключая тривиальные случаи, сформулированная динамическая задача
неприступна не только математически; трудность заключается в скудности
надежно проверенных экспериментальных сведений, могущих подтвердить или
отвергнуть приемлемость принятых зависимостей термодинамического
потенциала от мер деформации и температуры (или энтропии) и еще менее
коэффициента (в общем случае тензора) теплопроводности от его аргументов.
Эти же трудности сохраняются и в статических задачах термоупругости, хотя
математическая задача упрощается. Механическая и тепловая задача остаются
неразделенными. Динамическая задача в изотермическом материале (в
изотермическом процессе) упрощается, так как из рассмотрения выпадает
уравнение теплопроводности, а температура входит в выражение свободной
энергии и далее в уравнения движения, как постоянный параметр. В
адиабатическом процессе этого упро-
14*
420
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
щения нет, уравнения движения должны рассматриваться совместно с
уравнением (7.4), выражающим постоянство энтропии вдоль траектории
частицы.
В изотермическом процессе, сославшись на (4.10) и (2.7.5), имеем
Р- • SVRT = р0/ (vR; 0х)о • -6VRT= Ро8/ (vR; 0Х) = 6'aie) (1)
VR
- удельная элементарная работа равна вариации свободной энергии.
Обозначением
5 (VR; 0Х) = р0 [f (VR; 0Х) _/ (Е; 0Х)] (2)
определяется равная нулю в отсчетной конфигурации (что впрочем
несущественно) величина, называемая удельной запасенной свободной
энергией этого процесса. Повторяя вышеприведенные записи, имеем
Р = э (VR; 0Х)О = 2э (G; 0x)G-VR,
Vr
Т=2 |/|-VRT.a(G; 0x)g-VR (3)
или в изотропном упругом теле
Т=2|/-f- F-^(/1 (F), /2 (F), /3 (F); 0x)f. (4)
Сказанное может быть повторено и для адиабатического процесса, если
вместо (2) ввести в рассмотрение удельную запасенную внутреннюю энергию
a(VR; Т1Х) = р0 [е (VR; г)х) - е (Е; т]х)]. (5)
Конечно, в формулах (3) и (4) теперь придется заменить
о о
3(VR; 0х) на э (VR; цх). Можно их записать и в виде
Р = э0 , Т = 2 )/-J-VRt.3g.VR = 2 ]/-j-F-3F (6)
Vr
не забывая, что одно и то же обозначение э сохранено для двух отличных
друг от друга величин. Например, в линейной теории упругости отличают
адиабатические модули упругости (получаемые из представления э по (5)
через внутреннюю энергию) от изотермических (определяемых по свободной
энергии). Аналогичное более сложное рассмотрение распространимо и в
нелинейной теории.
§8]
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
421
Очевидно, что напряженные состояния (если исключить динамические задачи в
адиабатическом процессе), определяемые по заданию запасенной свободной
или внутренней энергий, не могут отличаться друг от друга-они
разыскиваются из тождественных уравнений равновесия и краевых условий; в
формулировках тех и других нет упоминания о тепловых величинах (0Х или
и*).
Итак, применение принципов термодинамики позволило доказать существование
"потенциалов напряжений" ("запасенных энергий") в изотермическом и
адиабатическом процессах.
Теория упругости может строиться, однако, и без введения подобных
величин, т. е. как чисто механическая дисциплина, вообще не входящая в
рассмотрение тепловых процессов. Эта точка зрения и проводилась в
предшествующем изложении, как разъяснялось в начале гл. 4 (§ 1).
Приложения
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Содержание "Приложений" ограничено необходимыми для изложения механики
сплошной среды сведениями о правилах и приемах применения тензорного
исчисления в трехмерном евклидовом пространстве (в <§%). Обозначения,
отличающиеся некоторым своеобразием, согласованы с основным текстом.
Преимущественно используются "прямые", а не индексные обозначения
тензорных величин; этим формулам и теоремам механики придается краткость
и выразительность, утрачиваемые в индексных записях. Переход к последним
требует лишь навыков в элементарных алгебраических преобразованиях. Опыт
преподавания позволяет констатировать отсутствие здесь каких-либо
затруднений.
Предполагается, что читатель владеет первоначальными сведениями об
операциях векторной алгебры и анализа и о действиях над матрицами.
Подчеркнем еще, что "Приложения" ни в какой мере не претендуют заменить
систематические курсы тензорного анализа, скорее они имеют целью избавить
читателя от постоянных ссылок на них.
Приложения нумеруются римскими цифрами, главы основного текста-
арабскими. Эти разделы разбиваются на параграфы (§), последние часто на
пункты (1, 2 и т. д.). В параграфах принята порядковая нумерация формул.
При ссылке на формулу данного параграфа указывается номер формулы, а на
