Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
постоянном давлении являются теплоемкости твердого тела при неизменной
деформации и при неизменном напряженном состоянии.
Обратившись к (1.7) и (4.15), можно записать соотношения
(5)г-"(3)г- <7!
По.(4.11)
л- Ч (vr; в) . (|)r = (x..w)r + §. (8,
Первое слагаемое справа в этом соотношении отпадает при
неизменной деформации (vR-постоянно). По (6) и (4.11) получаем
Х_0*!__0.Ё!/ [9)
к-идВ~~ дб2 ( '
§7] ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ И АДИАБАТИЧЕСКИЙ ПРОЦЕССЫ 417
- выражение теплоемкости при неизменной деформации. Теперь в левой части
(5)
т1==|ё+>1ок-^уТ==|х0+1^-"Уут
и уравнению теплопроводности придается вид
ар 0 0 0
Ро*е=Ро /-+eg-.vvT + v^v0. (Ю)
В статических задачах (vvT = о) приходим к хорошо известному уравнению
Фурье
pox'0 = por + V.?V0. (11)
Предположив, что соотношение (4.10) разрешено относи-о
тельно VR, имеем
VR = VR(P; 0),
о
-З-n ..^BI-З (121
+ ае +ае' ( '
VR
fdn\ дг)
dW"
<зе l дв v
когда процесс происходит при неизменном напряженном состоя-
0
нии (при постоянном Р). Вместе с тем VR и 0-независимые переменные в
представлении свободной энергии и по (4.10), (4.11)
п =_да --If --L&
'о [dejo дв'° ~ о0 дв ¦
VR 4 VR VR 0
По (12) и (9) приходим к выражению теплоемкости v! при неизменном
напряженном состоянии
о
1 n dP dvRT /104
к = и-------------0^ц---35-. (13)
Ро <50 00 ' '
§ 7. Изотермический и адиабатический процессы
Изотермическим называется Процесс с неизменной во всем объеме и в любой
момент времени температурой
0 = 0Х = const. (1)
Такой идеализированный процесс приближенно реализуется в среде с весьма
большой теплопроводностью, когда приемлемо Предположить, что всякая
неоднородность поля температуры
без промедления и в любом месте ликвидируется возникающим
тепловым потоком.
^ А. И. Лурье
418
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
В изотермическом процессе уравнение теплопроводности выпадает из
рассмотрения, температура входит в выражение свободной энергии и тензора
Пиола (или тензора напряжений Коши), как постоянный параметр вх. По
(4.10), (4.11)
f = f(yR; 0Х), P-pJo (VR;0X), ri = --^-/(vR; 0Х).
VR X
(2)
Параметрически она войдет и в уравнения движения, решаемые теперь вне
связи с тепловыми процессами.
Другой предельный случай-теплоизолированный объем. По (1.5), (1.6) в этом
предположении
г-0, q = 0, h = 0. (3) |
Этим определяется адиабатический процесс. В недиссипативных средах первый
принцип термодинамики приводит по (4. (5) к уравнению
rl = |) + v'V'n'
выражающему постоянство энтропии вдоль траектории материальной частицы.
По (2.2) отсюда следует, что Н = 0, внутренняя энтропия Н в объеме V
сохраняет постоянное значение, неравенство Клаузиуса-Дюгема обращается в
равенство. Адиабатический процесс в недиссипативной среде, в частности в
упругом материале, обратим. Тензор Пиола и температура определяются по
заданию внутренней энергии e(vR; г|) соотношениями (5.4). Задача сводится
к рассмотрению уравнений движе-
(о \
ния (2.3.5), в которых тензор напряжений TyVR; ту определен уравнением
(5.6) совместно с (4). Распределение температуры в объеме К и по времени
находится после того как задача решена. В статических задачах осложнений
нет. Механическая задача отделяется от тепловой, энтропия войдет в
уравнения равновесия, как постоянный параметр.
Условия (3) при г0 и (4) выполняются согласно (6.5) в средах с исчезающе
малой теплопроводностью k¦-*0. Идеализированные процессы-изотермический и
адиабатический -предполагают прямо противоположные свойства материалов-
бесконечно большую и бесконечно малую теплопроводность. Это делает
приемлемым взгляд, что изучение деформирования в этих идеализированных
процессах указывает некоторые пределы, в которых происходит
деформирование реальных материалов с конечной теплопроводностью.
§8l
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
419
§ 8. Уравнения термоупругости
Свойства упругого материала задаются функциональной зависимостью
свободной энергии от градиента деформации и температуры или внутренней
энергии от градиента деформации и энтропии; должен быть задан также
коэффициент (тензор) теплопроводности, зависящий от градиента деформации,
температуры и ее градиента. Задаются массовые силы и сообщаемое тепло от
внешних источников за счет лучеиспускания. Самыми различными могут быть
задания на поверхности тела (краевые условия), бесполезно перечислять все
их возможные сочетания. В динамических задачах должны быть сформулированы
также начальные условия.
Независимых переменных четыре-три материальных координаты q1, q2, q3 и
время t. Конечная цель - определение вектор-радиуса места R и температуры
0 (или энтропии г)), как функций этих переменных. Если она достигнута, то
найдено напряженное состояние и энтропия (или температура).
Сказанное помечает такую последовательность действий:
а) По заданию свободной энергии с помощью формул (4.10), (4.11)
составляются выражения тензора Пиола и энтропии или тензора Коши по
(4.13).
б) Подстановка этих выражений в уравнения движения (2.3.5) приводит к
