Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
первого принципа (3.9)-в его выражение входит величина
§ 4] ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 4)3
О о
p0r-V-h, определяемая подаваемым извне в объем V теплом, которой можно
придать любой знак.
Следствием (7) является недиссипативность простого упругого материала.
Действительно, по (3.11) и (5)
9 = Po(/oR"VvT + |e-/)^°. (8)
Подтверждаются неравенство (3.6) и запись уравнения теплопроводности
в форме (3.12). Свободная энергия оказалась неза-
висящей от градиента температуры
-f- = 0, / = /(?R; б), (9)
дуб
так что от него не зависят Р и г|
P = p0/(VR; б)0 , (10)
V R
T1 = -|/(VR; 0). (11)
0
По (2) и заменив VR его полярным представлением, имеем
/(?R; в) = / (vR-O; в) ==/(U-0x-0; 0) = /(U; 0) = /(G;0).
(12)
Здесь принято 0Х-0 = Е и повторено преобразование (3.2.9);
сохранив для свободной энергии обозначение /, имеем теперь по (10) и
(II.3.5)
Р = Ро/ (G; 9)о = 2Ро/ (G; 0)G • VR
VR
и по (2.7.3), (2.7.11) приходим к представлению тензора напряжений Коши и
энергетического тензора
T = 2pVRr-/G-VR, Tv = 2p/G, (13)
так как р0 Y 1=р. в этих обозначениях, вместо (11), имеем
Л = -^/(0, 0). (14)
Уравнению теплопроводности (3.12) по (1.13), (1.7.3) при-
дается вид
ре ¦л=рг Y ~Ьv- Y "f VrT'h==pr-r's'VrT^=p/'-R9^
и как следовало ожидать
р0т]= рг-V-h. (15)
414
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТЙ
tf Л. 9
Здесь h-вектор теплового потока. Но вектор Пиола тепло-о
вого потока h удовлетворяет требованию индифферентности; поэтому,
воспроизведя преобразование (12), имеем по (1.13)
Вместе с тем (4.11) позволяет назвать-f производящей функцией
преобразования Лежандра 0-^г|. Производящая функция обратного
преобразования т]-*0, согласно известному правилу, представляется
выражением
Им в соответствии с (3.3) определяется внутренняя энергия, представленная
через градиент деформации и энтропию. Диф-
которыми, конечно, подтверждаются свойства преобразования Лежандра.
Задание внутренней энергии должно быть материально индифферентным-
удовлетворять функциональному соотношению вида (4.4.1)
(16)
§ 5. Представления через удельную внутреннюю энергию
Уравнение (4.11) при условии
(1)
однозначно разрешимо относительно 0
(2)
0 (VR; Ti)+/(VR; 0 (vR; ti))=e(?R; ц).
(3)
о
ференцируя (3) no VR и tj, имеем
- здесь использовано соотношение (3.11).
Пришли к соотношениям
(5)
§6] УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 415
Поэтому, повторив ранее сказанное, можно представить теперь тензор
напряжений Коши, энергетический тензор и температуру выражениями
Т = 2pVRT-e(G; t])g-VR, TV = 2pe(G; r])G,
0 = ^e(G;ri). (б)
В изотропной упругой среде, когда за отсчетную конфигурацию принято
неискаженное состояние материала, / и е представимы через меру деформации
Фингера F
f (G; 9) = f (0х • F • Охт; 0) = f (F; 0), е (G; х\) = е (F; ц), (7)
так как / и е в этом предположении - изотропные скаляры
[см. (II.5.30)].
Но по (II.3.6)
/о = 2VR • fF,
VR
так что по (4.10), (4), (2.7.3) получаем
Т = 2pF • fF , T = 2pF • . (8)
Здесь / и е- функции инвариантов Iк (F) = Ik (G).
В представлениях свободной и внутренней энергий принималось, что материал
однороден, его свойства, единообразные во всем объеме, не зависят явно от
материальных координат. Учесть неоднородность можно внесением в выражения
(4.1) и (5) вектора места r(g\ q2, q3) в отсчетной конфигурации. Это не
изменило бы формы полученных зависимостей, но осложнило их содержание.
§ 6. Уравнение теплопроводности
о
Предполагается возможность представления вектора h суммой вида
0/0 0\0/0 \ 0/0 0\0 h (,VR; 0, V0j = ho(VR; 0, oJ_k(?R, 0; V0J.V0,
(1)
в которой первое слагаемое не зависит от градиента темпера-о
туры V0, второе определяет вектор, представимый произведением
о о
тензора второго ранга К на градиент температуры V0 и обращающийся в нуль
вместе с последним.
Неравенство (4.7) теперь дает
00 00 00/0 0\0
h-V0 = h"-V0-V0-K VVR; 0, V0j-V0^O (2)
416 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. 3
О
и наличие в его левой части слагаемого, линейного по V0, позволяет, как
объяснялось ранее, придать ей любой знак. Поэтому
О О 0/0 ОАО ООО.
h0 = 0, h = - К (VR, 0, V0;.V0, V0-K-V0>O. (3)
о
Построенная по тензору К квадратичная форма неотрицательна,
о
иначе говоря, тензор К, представляющий тензор теплопроводности среды,
неотрицателен.
В изотропном для тепловых процессов материале, когда от-счетная
конфигурация является неискаженным состоянием, о
тензор К -шаровой
К = Е/г, ?>0, h = - k\Q, (4)
k - коэффициент теплопроводности, по (3)-неотрицательный,
о
Далее мы ограничимся этим представлением К.
Уравнение теплопроводности (3.12) теперь приобретает вид
Po01Q= Por + V-&V0- (5)
В привычной записи используется понятие теплоемкости х - тепла,
расходуемого для повышения температуры единицы массы на один градус
х = (ае)г- (6)
Индексом Г указывается, что величина отнесена к некоторому
"термодинамическому пути" материальной частицы. Необходимость такого
определения объясняется тем, что величина бq - не полный дифференциал.
Обобщением понятий теплоемкости газа при постоянном объеме и при
