Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из неравенства (2.5), дающего представление второго принципа
термодинамики в дифференциальной форме, исключим с по-
мощью этой же формы первого принципа слагаемое
pr - V-h,
410
УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
[ГЛ. 9
определяемое подаваемым в объем V извне теплом. Приходим к неравенству
р0г]-рё + Т--D-h-Vlne^O, (1)
преобразуемому после замены
р0П = р (0г|)' - p0ri
к виду
Т- • D - р (е - 0ri)- - рбг] - h-Vln0^O. (2)
Сюда в рассмотрение оказалась включенной величина
/ = е -0т], (3)
называемая удельной свободной энергией или термодинамическим потенциалом
Гельмгольца. Второй принцип термодинамики оказался представленным теперь
в форме "диссипативного неравенства"
Т--D -p(f + 0ri)-h-Vlne>O. (4)
Входящие в него слагаемые
Ф = Т. -D - р (f + (5)
определяют "удельную диссипативную функцию", называемую еще "удельной
диссипацией (рассеянием) энергии". Среды, в которых ф = 0, к ним, как
увидим, относится упругий материал, называются недиссипативными. В них по
(4)
h-Vln0 = ^-h-V0<O. (6)
Смысл этого неравенства становится ясным, если вспомнить условие о знаке
(1.6) и что 0 > 0. Оно выражает, что вектор V0, направленный по нормали к
изотермической поверхности в сторону возрастания 0, составляет угол не
меньший 90° с вектором теплового потока h -тепло распространяется в
сторону падения температуры. Это заключение может и не выполняться при
положительной диссипации (ф > 0); тогда нельзя исключить возможности
неравенства знака, противоположного (6): "не исключено, что при
надлежащих условиях вода поднимается по склону горы".
Выражение первого принципа термодинамики через свободную энергию
приводится-по (1.11), (3) и (5) к виду
p0r| = T- -D -р (/ + 0т]) + р/- -У-Ь = ф + рг -V-h. (7)
В недиссипативных средах (ф = 0) это соотношение представляет уравнение
распространения тепла (теплопроводности)
р0 г) = pr - V-h.
(8)
§4) ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 411
В отсчетной конфигурации вышеприведенные формулы приобретают вид: первый
и соответственно второй принципы термодинамики
. о . оо
ро0т] = Р- -VvT -ро(/ + 0т]) + рог-V-h, (9)
Р- • VvT-р0 (f-f r|0) -h-V In 0 ^ 0, (10)
выражение диссипативной функции и уравнение распространения тепла в
недиссипативных средах
ф = р. .Vvr- po(/ + 0ri), (11)
po0V=Pc/-V-h. (12)
§ 4. Термодинамические потенциалы. Определяющие величины
Применение принципов термодинамики в механике сплошной среды требует
заданий одного из термодинамических потенциалов-свободной или внутренней
энергии, а также вектора теплового потока в зависимости от определяющих
движение среды и тепловых процессов в ней величин. Без этого дальнейшее
продвижение бесперспективно, подобно тому как "бесполезен" закон Ньютона
mb = f, если ничего неизвестно о зависимости силы f от места точки в
силовом поле, скорости, времени.
Ограничиваясь рассмотрением простого упругого материала й считая его
однородным, примем, что величинами, задающими его состояние
(определяющими параметрами), являются градиент о о
места VR, температура 0 и ее градиент V0. Свободная энергия /
о
и вектор теплового потока h задаются, как материально индифферентные
функции этих параметров
/ 0 0 \ 00/0 0 \
/=/(VR; 0, V0J, h = h (VR; 0, V0y, (1)
иначе говоря, преобразуемые при переходе от "нештрихованной" актуальной
конфигурации к "штрихованной" по закону
/(VR-O; 0, V0)=/(VR; 0, V(c)); 0/0 0 \ 0 / 0 0 \ h ( VR-O; 0, V0j=h(VR; 0,
V0).
Здесь, чтобы упростить дальнейшее построение, эти задания представлены в
отсчетной конфигурации. Сами определяющие параметры-шскомые функции
координат и времени, хотя многое
412 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. ч
о
о чем говорится далее, сохраняет свое значение, когда / и h - I
функционалы над предысторией среды.
Задача состоит в определении по заданиям (1) уравнений состояния-
функциональных зависимостей тензора Пиола Р и о о
энтропии г| от VR, 0, V0
Р = Р (VR; 0, V0), п = г) (VR; 0, V(c)), (3)
удовлетворяющих принципу материальной индифферентности J
/О 0 \ /0 0 \
Р yVR- О; 0, V0j = P(VR; 0, V0J,
/О О \ / о 0 \
tj^VR-O; 0, V0у = г| VVR; 0, V0J. (4)
Это достигается применением второго принципа термодинамики J в форме
диссипативного неравенства (3.9). Входящая в него производная свободной
энергии по времени по (1) представляется согласно (1.10.7) выражением
;=/0 •'•vvt+|в+Л-.{щ)\ (5) ¦
VR Зуб J
Исключение / из (3.10) приводит теперь к неравенству
/р-рв/0 у.?ут-ро(|+л)ё+-|-.(?0)'-н.?1П0^о. (61
V Vr / 4 Зуб
Но линейному относительно переменных х, у, г неравенству Ах + By -j- Сг +
D ^ 0
(в нем А, В, С, D от этих переменных не зависят) можно удовлетворить лишь
при условиях
Л = 0, В = 0, С = 0, 0
- в противном случае, задав л:, у, г надлежащие значения,
можно было бы левой части неравенства придать любой знак.
Роль переменных х, у, г в неравенстве (4.4.6) отходит
о . / о \ .
к VvT, 0, vV0^ ; коэффициенты в нем по (1) от этих
величин
не зависят. Итак,
Р = Ро/о . 4 = -S, ^-=0, -h-Vln0^O. (7)
VR Зуб
Эти фундаментальные результаты нельзя получить из рассмотре- , ния
