Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
По (2) и (3) уравнение баланса приводится к виду
<^ = 55ST-.DdK + e. (4)
v
В рамках механики сплошной среды внутренняя энергия вводится в уравнение
баланса (2), как слагаемое в левой его части. Уравнение механики mb = f
выражает не тождество ("определение силы"), а равенство двух величин -
"информация" о силе
ПЕРВЫЙ ПРИНЦИП ТЕРМОДИНАМИКИ
407
должна задаваться отдельно. Подобно этому уравнением (4) устанавливается
связь между тремя величинами, но не следует думать, что им по заданию
правой части определяется <?; внутренняя энергия, подобно силе в
уравнении движения, должна независимо задаваться через величины,
определяющие состояние среды.
Так же как мощность напряжений (первое слагаемое правой части (4))
определяется внешними поверхностными и массовыми силами, в формирование
нагревания Q входит тепло, поступающее в объем V через его поверхность
(теплопроводность), и тепло, распределенное по объему (создаваемое,
например, за счет лучеиспускания внешних источников),
d = \\qdO+\l\prdV. (5)
О V
Через q выражается вектор теплового потока h; к этому понятию приводит
такое же, хотя и более простое, рассуждение, чем использованное при
введении тензора напряжений: заданию ориентированной площадки N dO в
любой точке объема V сопоставляется проходящее через площадку в единицу
времени тепло qdO. Скаляру qdO сопоставлен вектор N dO, а линейность этой
зависимости подтверждается знакомым рассмотрением потоков тепла через
грани элементарного тетраэдра. Приходим к соотношению
q = - Nh. (6)
Теплу, покидающему объем, приписывается отрицательное значение; N, как
всегда, нормаль вовне объема. Подобно основному соотношению Коши (2.2.3),
соотношение (6) отнесено к любой ориентированной площадке в объеме V, в
нем определено поле вектора h теплового потока - скаляр q, линейно
зависящий от |N, представйм скалярным произведением N на некоторый другой
вектор - напомним (II.1.2). Точно так же по силе tN, линейно зависящей
от N, вводилось поле тензора напряжений Т.
В соотношении (6), если относить его к ограничивающей объем
поверхности О, следует видеть краевое условие для h; подобно этому
(2.3.1) -краевое условие (уравнение равновесия на поверхности) для Т.
Преобразование Гаусса -Остроградского позволяет теперь представить (5) и
(4) в виде
"=SSS(pr-v,h)^* (?)
у
*-$SS<T"D-V. h + pr)dV.
(8)
408 УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ [ГЛ. я
Принимается, что внутренняя энергия - аддитивная функции массы, иначе
говоря,
*=Шр<?л'=Шр0<?л', <?=SSSpo^&== 555 p^f (д)
V v v V
- через е обозначена внутренняя энергия, отнесенная к единице массы-
удельная внутренняя энергия. Теперь (8) приводится к виду
555 (ре - ТD-fV h - pr)dV = 0. (10)
г
Это-первый принцип термодинамики, представленный в интегральной форме.
Его дифференциальная форма выражает условие обращения в нуль
подынтегрального выражения, так как объем V может быть назначен
произвольно:
ре-Т- -D + V-h - pr = 0. (11)
Записав выражение поступающего в единицу времени в объем тепла через его
поверхность в виде [см. (1.6.5)]
jjqdO=-|Jn-1ic10=- jj j/^y-n-VrT-hdo =
= - J fn-hdo = - f j fv-hdw (12)
О V
0
мы вводим в рассмотрение вектор h
h= j/yVr.h, (13)
выражаемый через h точно так же, как тензор Пиола выражен
о
через тензор напряжений Коши [см. (2.7.2)]. Можно назвать h - вектором
Пиола теплового потока. Обратившись теперь к выражениям первого принципа
термодинамики в интегральной и дифференциальной формах и сославшись на
представление (2.7.14) мощности через тензор Пиола, приходим к записям
этого принципа в отсчетной конфигурации
Ш (Р"е -р- • VvT-f V• h - p0r)cfo = 0, (14)
V
0 0 0
р0е -Р--VvT -V-h -р0г = 0. (15)
§ 2. Второй принцип термодинамики
Для механики сплошной среды температура -первичное понятие. Можно
довольствоваться его словесным определением "степень нагретости",
например, и указанием способов измерения.
§3l * СВОБОДНАЯ ЭНЕРГИЯ 409
Важно отметить, что определено наименьшее значение температуры, которой в
шкале Кельвина приписывается значение 0 = 0, так что всегда 0 > 0.
Второй принцип термодинамики связан с понятием энтропии. Материальная
производная по времени энтропии, поступающей в объем V от внешних
источников тепла, определяется (подобно (1.5)) выражением
V О V о
Внутренняя энтропия в объеме V, обозначаемая Н, представляет аддитивную
функцию массы и выражается через удельную энтропию т] (относимую к
единице массы) формулой
(2)
v v
Из большого числа формулировок (неравнозначных друг другу) второго
принципа термодинамики, следуя Трусделлу, мы остановимся на неравенстве
Клаузиуса -Дюгема
V о
выражающем, что внутренняя энтропия в объеме не убывает. Процесс со
знаком равенства называется обратимым, неравенства - необратимым.
В другой записи после преобразования поверхностного интеграла в объемный
О V V
неравенству Клаузиуса-Дюгема придается вид
OTi(p0n-F + V-h-h-Vln0)^^°, (4)
v
а в дифференциальной форме
р0г| - (pr - V • h)-h-Vln0^O. (5)
§ 3. Свободная энергия. Диссипативное неравенство
