Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
9(7!), 9(/2); случай любого несжимаемого материала остался до конца
неизученным-не были получены алгебраические критерии устойчивости,
выраженные через 9,-, э1к при любом N. Безуспешной оказалась попытка
прийти к более определенным результатам и в публикациях этих авторов 1978
г.
S 27]
КРИТЕРИЙ АДАМАРА В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
399
§ 27. Критерий Адамара в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
В записи алгебраических критериев положительности квадратов собственных
чисел акустического тензора
входят не только исходные задания описывающих деформацию величин щ, v2,
v3 и функций от них э{, эа, определяемых выбором материала, но и
компоненты Nlt N2, N3 вектора нормали N к волне и перпендикулярных к нему
векторов tlt t2. Исключение этих величин., связанных шестью условиями
из вышеприведенных неравенств, иначе говоря, разыскание критериев,
определяемых только исходными данными, связывается, по-видимому, с
непреодолимыми трудностями: чтобы их оценить, достаточно взглянуть на
формулы (26.14). Столь же громоздки иначе записываемые, но также
содержащие Nlt N2, N3 неравенства, приведенные в работах Ривлина и Сэйрса
(1977, 1978).
1. Здесь задача будет рассматриваться другим путем. Через эк, в
отличие от § 26 обозначаются производные э по щ, v2, v3
а компоненты акустического тензора в ортонормированном базисе е1( е2, е3
собственных направлений меры деформации Фингера определяются по формулам
(4.12.9), (4.12.20). В них главные напряжения ок заменяются их
выражениями через эк по
N•N = 1, te-tp = 6ep, N • ta = 0 (а, |3=1,2),
дэ
эъ " dvk ' 3ks
dvk dvs '
(4.3.12), (4.3.16)
14 Vi д2э
Получаем
Выражение Q12 преобразуется к виду
VxV^-V^ + v!-^
2ЩЭ1-
Vl - Vi
2
и после упрощений
VZQ12 = ViV2NiN2 (э12 +
V Vi-V2 J
(2)
400 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
При обозначениях
я Л Г'!5!---У292 А ____ А ___________V232.____
^*12 21 2 Т~ > 23 П32 2 ,2 >
Pi - Р2 Г2 - Р3
А ________ А _________ Рз^з -
Л31 л13 2 2 '
Р.ч - Pi
D В ^1^2---52Pl О ___ В S-V3 5з^2
12 21 2 2 > 23 Д32 2 2 >
Pi Р2 Р2 РЗ
.93Р] -3jP3
В31 - Bi
(3)
(4)
2 2 Рз -Pi
акустический тензор представляется теперь выражением
3 3
V%Q= 2 2 з,-^,-МАидо,.е^ +(Л12и22М^ + А^МЦ) e^i +
i=i k=i
-4- (A23vlNl+A21vlNl) e2e3 + {A31v\N\-\- A32vlNl) e3e3 +
+ B12N 1N2v1v2 (eje2 + e2ex) + B23N2N3v2v3 (e2e3 + e3e2) +
+ B3lN3Nlv3v1(t3z1 + e1t3). (5)
Отметим еще соотношения ^12+512 = ~42' ^23 + 523 = 1|28_U3' ^31 +
B3l^= Vs__v^, (6)
Л ____ R _?l_!_?? A ___ В __'b±j3 A __R - ?3_+_?l
t-j\
12~Pi + p2' Лгз 23 P2+P3' 31 31~р3 + рГ
2. Неравенство Адамара (22.12) в соответствии с (22.14) и при
обозначении
NiVt = at (t = 1,2,3) (8)
теперь может быть записано в виде
з з
А (а, Ь) = 2 2 Э;ьа{аф?ь + Л12 (o|fc>? + а\Ь\) + Л23 {а23Ь\ + а\Ь\) +
i=i k=\
+ А31 (albl+albl)+2B12a1b2a2b1+2B23a2b3a3b2 + 2B31a3b1a1b3^0. (9)
В частности, приняв ai = a2 = 0, я3 = 1, b1 - 1, b2 = b3 = 0, придем к
неравенству
А31>0.
Это условие и два аналогичных
А12 >0, Л23^0, А31^0 (10)
представляют знакомые ЗВ<§-критерии (5.13.10), выражающие необходимые
условия эллиптичности системы уравнений равновесия рассматриваемого
материала.
Теперь, введя в рассмотрение величины
aibl = xi (t = l,2, 3), (И)
i 2?
КРИТЕРИЙ АДАМАРЛ В НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ
401
можно заменить (9) неравенством
А (И) Ь)-: 5] S "Ь 2ВХ2ххХ2 -f- 2Вгзх3х3 -f- 2В31х3х1
1=1*=1
Ь_
ь2 ] 1 'V3 \ь M2_l vt(b
+[-? (i-:)=+-s (-§7)1t-з (^)'+^ (urj
-I~4i [x%{t3 )" + X*
Д*0, (12)
в силу (10) выполняющимся при замене величины
х\
-Ь х\
! = xfz -
Х2_
г
7(2), 2 =
и ей аналогичной их минимумами (при фиксированных xj. Но f(z) достигает
минимума при
= 0,
2=м
Xz_ )=xl ii + *! h. = 2
*1 J Xl
Г (2) = хМ^
и этот минимум равен
f{
Неравенство (12) теперь приведено к виду А (х) = эг1х\ + э22х\ + э33х\ +
2 (э12 + В12) х3х2 + 2 (э23 + Вгз) х2х3 +
+ 2 (э31 В31) х3хг -}~ 2 Л12 j хгх21 + 2 Л231 х2х31 -f- 2Л311 х3х31 ^
0. (13)
Оно выражает не только достаточное, но и необходимое условие выполнимости
неравенства (9), так как минимум выражения
Ai2 iflVA + albi) + Л23 (a\bl -j- а\Щ) -f- Л31 (а\Ь\ -j- afb3)
действительно достигается в области задания переменных as, bs.
3. Переход от неравенства (9) к (13) - решающее место всего
построения. Форма шести переменных заменена формой трех переменных,
правда, усложненного вида, так как последняя содержит не только
переменные х1г х2, х3, но и их модули. Задача в общей постановке остается
громоздкой; она упрощается, если ограничиться рассмотрением несжимаемой
среды.
о
В этом предположении аргумент VR выражения удельной
0 0 г-
потенциальной энергии a(VR) подчинен условию det VR=K/3 = 1. Это же
условие несжимаемости материала должно выполняться во всех сравниваемых с
актуальным состояниях, иначе говоря, и для аргумента
VR- (Е + r|Nb),
402 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
входящего в определение (22.8) неравенства Адамара. Итак,
det VR • (Е + rjNb) = det VR -det (E + rjNb) = det (E + i]Nb) =
