Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
расположена ближайшая к началу координат точка
ui = и2 = 2(1-v) '
и при
"*<2(П=Ч (S"1'2) И)
материал теряет свойство сильной эллиптичности.
Материальными являются полярные координаты г, ср в отсчетной
конфигурации. Преобразование
R = kr, Ф = ф, Z=z, R = ferer + i32 (5)
определяет некоторую аффинную деформацию.
При
k>K = o^yLv) (при v = 0: Л0 = 1; при v = l; *0=l) (6)
материал сильно эллиптический, аффинная деформация устойчива, при k<_k0
неустойчива.
Неаффинная деформация при наложенных связях может быть осуществлена, в
частности, наложением на деформацию (5) поворота на угол ф(г), равный
нулю на окружности диска
ф(1) = 0. (7)
Вместо (5) имеем
R = kr, Ф = <р + ф(г), Z - z или R = fere^ + i32, (8)
Причем
eR = er cos ф + еф sin ф,
Зер дер , ,
~дФ= еФ = -^ = -ег31Пф + ефсо5ф,
^ = Ф'(ОеФ. (9)
392 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Базисные векторы в этой конфигурации и градиент места определяются
формулами
+ R2 = Rv = ^re0) R3 = R2 = i3,
О
VR = & [ег (ел + гф'еф) + ефеФ] + i3i3.
Мера деформации Коши и ее инварианты оказываются равными
G = VR•VRT = k2 [erer (1 -f г2 ф'г) -j- (егеф + ефег) л|/ + ефеф] -f
l3i3,
/х (G) = k2 (2 + r Y'*) + 1 = vl+ vl+ 1,
/2 (G) = k4 -f k2 (2 + г3ф'г) = v\v\ + v\ + v\, h{G) = v\vl Отсюда
получаем
Vi + vl = k2(2 + r2'tp'2), v^z-k2, v1-]-v2 = kA, А~(4-\-г21р'г)'/* (10)
и инварианты /ft(Gl/j) == I'k определяются формулами
/х = их -)- v2 -f-1 = k А -)-1, 12 = v1v2-\~v1-\-v2~ k2kA, I3 = k2.
Удельная потенциальная энергия полулинейного материала (17.9) после
очевидных преобразований приводится к виду
э(А) = \(К + 2ц) k2A2-T^-ykA + 2А-2р(1 -к2). (11)
Здесь А определяется по (10), а при аффинной деформации А = 2.
Минимум энергии в рассматриваемом случае равнозначен с минимумом
поте'нциальной энергии
г
Э = 2л\гс1гэ{А), (12)
0
так как работа поверхностных сил на виртуальном перемещении из
равновесной конфигурации (8) равна нулю.
По (11) э(А) имеет минимум при
1 (13)
2
k (1 -v) '
< К
Если аффинная деформация неустойчива, т. е.
1
'2(1-v) '
то существует неаффинная деформация вида (8), для которой имеет место
соотношение (13), и по (10)
, 1-4^(1-у)2
' V - 62(1-V)2 '
j 2б] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ 393
По (7) находим
^ _ ут=4ЩГ=*Г 1
г_____*(1-У) ' (14)
К, yc-v)- j
т 6(1-v) г
Угол ф неограниченно возрастает при приближении к центру диска.
Центр -особая точка поля напряжений, реальный материал не сохранит в его
окрестности сплошности, следует ожидать образования трещины.
§ 26. Плоские волны в однородно напряженной, несжимаемой упругой среде
Здесь мы возвращаемся к рассмотрениям §§ 7 - 9 в предположении о
несжимаемости упругой среды. Уравнениям движения
(18.13) в ^"^-конфигурации придается вид
V-0? + V-pVwT - Vp' + pw2w = О, (1)
причем поле виртуальных перемещений удовлетворяет уравнению неразрывности
V- w = 0. (2)
Напряженное состояние в ^-конфигурации предполагается однородным -тензоры
Т и F постоянны
Т= рЕ + 2 [(эт -ф /гз2) F - d2F2], 2
F = o?e1e1 + ^e2e2 + t;iese3.
Здесь е^ -главные направления меры Фингера, и2 -ее постоянные главные
значения, причем
/3(F) = "=1. (4)
Давление р также постоянно и поэтому
V- pVwT = р\ • VwT = pVV-w = 0. (5)
Поскольку теперь э = а(11, /2), акустический тензор Q в уравнении
движения (7.7)
V-0? = -4&2Q-w (6)
определяется выражением
Q = ^ (ifiN • F •N +^2N • F2-N) E -f yф2 (N • F • NF + N • FF • N) -f + -
&nN • FF - N (N • FF2 - N + N • F2F • N)-f-ft22N • F2F2- N. (7)
394 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
Задавая плоскую волну формулой (7.1) и пользуясь соотношением (7.4), по
(2) получим
\w~ikN-w, N-w = 0 (8)
- в несжимаемой среде, как и следовало ожидать, продольные волны
отсутствуют. По (1) и (5) имеем
N• Vp' = - 4fe2 N• Q• w, NN-Vp' = - 4&2 NN-Q-w.
Вместе с тем
N • Vp' = ik N ¦ Np' = ikp', NN • Vp' = t/г Np' = Vp
и поэтому
Vp' = - 4?2NN-Q-w. (9)
Уравнение движения (1) приведено к виду
Qx.w = ±pc4v, QX = Q -NN-Q (с2 = ю2/&2). (10)
Здесь Qx следует назвать акустическим тензором несжимаемой упругой среды.
Его представление по (7) приводится к виду
Qx = y(iKN-F-N + ф2N•F2•N)(E-NN) +
+iф2[N.F.NF+N.FF.N-2N.F.NNN.F)+
+й11(N•FF•N-N•F.NNN•F)4-+^i2 [(N - F-NN-F-N)F2-N + (N • F2 - NN • F2-N)
F-NJ +
+ S22(N-F2-NN-F2-N)F2-N. (11)
После замен грг, fyvr их значениями Ф1 ~ "Ь 7x^2, Ф2 ^2" ^11 ~
^11 2/i<912 "Ь 7i322 "Ь 32,
^12 = ^12 ^1^22> '&22 = ^22> (r) i = ~QjJ ' ^'^=~дГ{дТ^ ^ ^
приходим к выражению
Qx=-j91N-F-N(E - NN) +
+ j32[(/1N-F-N-N-F2-N)(E-NN)-N-F-NF-f N-FF-N] +
+ эи (N- FF - N - N • F • NNN • F) + э22 [N • F2F2-N - N • F2 - NN • F2-
l-+Л (N • FF • N - N-F • NNF • N)- /t (N • F2F2-NNF • N)] +
+ э12[2/j (N-FF-N - N-F-NNF-N) -(N-FF2-N - N-F-NNF2-N)-
- (N • F2F- N - N-F2-NNN-F)]. (12)
Конечно, Qx-N = N-Qx = 0, так как все слагаемые Qx имеют это свойство.
Поэтому в ортонормированном триедре N, t1( t2
$26] ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В НЕСЖИМАЕМОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ 395
тензор Qx оказывается плоским тензором
Qx = A.ntjtj + A,l2 (tjt2 + tsjtj) + ^22t2t2, (13)
