Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 574

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 568 569 570 571 572 573 < 574 > 575 576 577 578 579 580 .. 942 >> Следующая

V
~ ' VwT - р\ ¦ w - p0k- w)dV- 55*"' w dO -
V о,
= j) J J (T?- • VwT+ w- \p - p0k-w)dK- 55 (f° + pN)-wdO, (10)
V 0,
2W 2 = 2W 1E-\\] (p'V-w + p0VwT - - Vw*)dV =
v
= S S S t- p'V-w + (0? + pVwT)- • VwT]dl/. (11)
v
В соответствии с принципом стационарности потенциальной энергии = 0.
Это непосредственно следует и из преобразова-
ния выражения (10)
SSSV-VwTdK=SSS[V.(VW)-(V.T?).w]d7 =
V г
= 55 N-VwdO-JSJ (V-T^-wdK
О, V
и в соответствии с уравнениями равновесия (7.2.11) в ^-конфигурации
W1 = -№(V-TE-Vp + p0k)dV+m[N-(TE-Ep)-f°]-wdO. v о,
По определению, принятому в § 10, это равновесие устойчиво, если вторая
вариация потенциальной энергии W2 положительна. По (11) получаем
5SS(0f + pVwT)--VwTdl/>°, (12)
v
так как включение в подынтегральное выражение равного нулю слагаемого
p'V-w, конечно, не влияет на знак.
При составлении уравнений нейтрального равновесия это слагаемое следует
сохранить. Имеем
555 {-P/^'W + (0z?-|-pYwT)- • VwT} dy=S55 {-V • p'w + w-Vp' -f
V V
+ V • [(0? + pVwT) ¦ w] - [V ¦ (0Я + pwr)] -w\dV =
§19] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОГО ТЕЛА 377
= - S SS tV'¦ (0*+ PVwT)Vp'l¦ wdv +
V
+ SS N-[(0?-f-pVwT) - Ep'\- wdO.
0,
Вхождение лагранжева множителя p' позволяет записать уравнения равновесия
в объеме и на поверхности
в V: V0? + V • pVwT - \р' = 0, (13)
на Ор. N ¦ (&Е + p\wT) - Np' = 0, (14)
к которым присоединяется уравнение связи
V-w = 0. (15)
В этих уравнениях р считается найденным по уравнениям равновесия в ^-
конфигурации, дополненным уравнением связи
/3-1=0.
§ 19. Безопасное нагружение несжимаемого упругого тела
Как и ранее в § 13, "мертвое" нагружение предполагается заданным на всей
поверхности тела, а поле виртуальных перемещений удовлетворяющим условию
(1.21) и, конечно, условию несжимаемости (18.15). Входящий в критерий
(18.12) тензор преобразуется по (18.7) к виду
0?.-f-/7VwT = T?-Vw + pVwT-j-4\p.2F-s- F ~f
+ 4П SjvrMFr.eJF* (1)
N=1Г=1
После замены его значением Т+рЕ, имеем
Т? • Vw + pVwT = (Т + рЕ) • Vw + рVwT = Т • Vw + 2рг (2)
и далее
(Т Е ¦ Vw + pVwT) • • VwT = Т • • Vw • VwT + 2 plt (e2),
так как e-• VwT = e--e. Имеем также, сославшись на (15.5), (15.6),
F 8 - F • • VwT F 8 - F • -E = Ix ((F -s)2),
ФЛ(( F-8)2)^~\xp2\V41(82), (3)
? ? Wx(Fr-e)F..Vw*= t S W1(Fr-8)/1(F".e) =
.V = 1 Г- 1 ,V=ir=l
3 3
= 2 2 asM> (4)
s = 1A"1
378 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
причем подобно (2.14)
ask= 'S 'S ^NTv!NvlI' = b11v2svt + b1;svyk(vl + vl) +
N=1 Г= 1
+ $22vyk = v\vl + ^ + ;[(71 -us) + (71 -vi)] +
[ГЛ. 8
ИЛИ
ask
dv2dv?
S k
+ Щ0г при 5фк\
4 j дэ д2э
(s, k = 1, 2, 3).
(5)
(6)
Va/* (*-s2)'
Критерий Битти подобно (15.9) представляется выражениями
B=H+2p-4v$
дэ ! D гг . о Гл • 01/4^ 153 ljd? |М п¦
¦^7-|, В-Я+2 j р, aj,-t-2K Т/. I I I> (7)
д12
причем здесь подобно (2.21)
дэ
Ps Gs + P - 2vtjr = 2
дэ
Ж
дэ
Ж
+ /х Ж )v2, - 2и*
дэ д! 2
(8)
Сохраняются записи условий безопасного нагружения в форме неравенства
(15.11) или в более полном виде (15.10).
§ 20. Устойчивость неискаженного состояния несжимаемого материала
В неискаженной ^-конфигурации материал подвергнут всестороннему
растяжению или сжатию. В этом состоянии тензоры Т и F - шаровые
Т =стЕ, F = п2Е = Е,
так как для несжимаемого материала /3 = о6 -1. Уравнение состояния
задается соотношением
дэ
дй'
а- р+оЕ, о1,:~2(-^-+11-щ-|^)-2 (у^+2 -щ^-р+2-Здесь по (19.8)
так что
Р + (2)
S201
УСТОЙЧИВОСТЬ НЕИСКАЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
379
В выражении (18.1) отпадает рассмотрение двойной суммы, так как теперь по
(18.5)
I1(FN-e)^I1 (е) = V - w == 0.
Получаем
дэ
дэ
0? + pVwT = ( р + 2 -gj- j (Vw + Vwr) - crVwT - 4-jj- e~ 2pe - oVwT,
так что
'0? + pVwT) • ¦ VwT = 2p/t (e2) - ctVwt- • Vwt.
Для преобразования второго слагаемого используется тождество
VwT- • VwT = (е + Q)- • (еф-й) = ]х (е2) + 1г (Q2) =
= /1(82)- 2со-со (/1(Й-8) = 0)
и условию устойчивости (18.12) придается вид
(2р - а) ^ ^ /1(e2)dV + 2а J § <о-сос(К > 0,
так что устойчивость при растяжении (ст > 0) имеет место при условии
2р > ст. (3)
Оценка Холдена (15.4) неприменима при а > 0, так как не удовлетворяется
условие (15.3).
При сжатии ст < 0 и по (19.7), (1) и (2)
В = Я + 2р -4
д/2
= (/С + 1) ст-2ст + 2р- 4
дэ
дэ
dl.
дэ д/2
: (К- 1) ст + 2jx- 4 ^
дэ
д/2
и достаточное условие безопасного нагружения выражается неравенством
В>0: 2р > - (К -1)0 + 4 ^
дэ
д/2
дэ
д/2
= (Я-1)|ст|+,
0
1 дэ

дэ . п при -щ > О,
дэ Л
при jj-< 0.
(4)
В частности, для двухконстантного материала Муни по (7.4.1) и (7.4.4)
2р > (К- I) 1 сг I- (5)
380
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
§ 21. Несжимаемый материал. Сжатый стержень
Сжимающее (продольное) напряжение обозначается 03 < 0; Oj = о2 = 0 и 0 =
0 по (13.11). Собственные значения тензора Фингера обозначаются, как и
ранее, v\ = v\ =i>-1, t'3 = ii2 и в соответствии с ^^-неравенством
(5.13.10)
По (7.2.4), (7.2.5) напряжения определяются формулами
Для двухконстантного материала Муни критерий безопасного нагружения
Предыдущая << 1 .. 568 569 570 571 572 573 < 574 > 575 576 577 578 579 580 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed