Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
дз
s - 1 й=1
д2э
2(t,2ti|e22 + i'fu2e223 + СзС2е31) > 0, (19)
(ЛГ-f 1)(<т3 - <х) Д (в2) -
, з
- 8 ]/ -f- -|у- (Д^еД + t>2y2e|3 + гДДеД) - ст ..е2 > 0, (20)
S=1
причем в записи (20) учтено неравенство (18).
При дэ/д1.2 > 0 оба неравенства (19), (20) нарушаются-достаточно принять
е5 - 0 для всех s-1, 2, 3 и esk^0 хотя бы для одного esk(s^k). Это и
заставило отказаться от непосредственной оценки неравенства (10), заменив
ее сначала требованием Неотрицательности В и последующей проверкой
положительности формы С (е,, е2, е3).
368
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. S
§ 16. Сжатый стержень (эйлерова колонна).
Материал Мурнагана
Главные напряжения в сжатом продольной силой Q стержне равны
СТ^О, СГ2 = 0, (73 = J (1)
и по (13.11)
(7 = 0. (2)
При принятых в гл. 6, § 2 обозначениях по (15.5) и (2.21)
v1 = v2 = av, vs = v, а>1, V = v1; }/73==а2у3, (3)
^ = 2u_1 {wi+'"2 ж) = -2а2у {ж + ^ж)- ^
Отсюда и из представления (5.6) напряжения ст3 определяются а, у и далее
р3.
Предполагается, что в рассматриваемом материале
Ж>° <5)
и критерий Битти по (15.9) и (15.11) приводит к неравенству
<г<ёт- <б)
Если ^-конфигурация - натуральная, a S0 обозначает площадь поперечного
сечения в этой конфигурации, то
(1, = ^, S = S0, (7)
Для стержня круглого поперечного сечения при 3
по (4.7) оказывается безопасным нагружение силой
Q = гтттт- (8)
J+T V 7
Представляет интерес сравнить это выражение с эйлеровой критической силой
(9)
для стержня, края которого лишены возможности поворачиваться при
наложении поля виртуальных перемещений w ("заделанные" концы) -в такой
конструкции выполняется условие (1.21), существенно использованное в ходе
вывода неравенства
§161 СЖАТЫЙ СТЕРЖЕНЬ. МАТЕРИАЛ МУРНАГАНА 369
(10)
Холдена (15.4). По (8) и (9) получаем
Q _ 6
<2э ~л2 (1+V)
и это отношение составляет приблизительно 0,6 -0,4 при 0<v< 1/2.
а) Материал Мурнагана. По (5.3.2) имеем
дэ
31
7=![ЧЛ-3) + 2|1(/1-1) + ^/(/1-3)(r) +
т(/!-2/,-/,) + ? , (И)
2
дэ 1
2р. + т (/, - 3) -Г ~2 п
дэ 1
и отличны от нуля вторые производные
(tm)=±[к + 2р + 1(11-3) + 2т(11-1)],
dh 4 д2э 1
-т.
(12)
д11д12 4
Ограничимся в предстоящем вычислении удержанием слагаемых, линейных по
относительным удлинениям -продольному (-6) и поперечному (6Х) (бг > 0, б
> 0) в сжатом стержне. В этом приближении
v1 = o2= 1 + 61; у=1- б; 01-05=1+26!, у2=1-2б, /1(F) = /1-3 = 2(261 -6),
/.-3 = 4(26,-б), /3 - 1 =2(26, -6).
(13)
Из условия
и формул (11) -(13) следует, что
(2б1-б)^ + 2^б1 = 0, б1 = щ^=т, (14)
причем V -коэффициент Пуассона линейной теории. В этом приближении
о3 = -2р(1 +v) б. (15)
Обратившись к (4), получаем в этом же приближении
+ = р(1+тб), T=l+2v -(1-2v)y + -^ . (16)
Постоянная т может оказаться и отрицательной; в этом случае оценка
безопасного нагружения по формуле (6), имеющая
370
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. S
смысл лишь при рц > 0, сохраняет значение для относительных сжатий 6 < ]
т |-1.
По (6), (15), (16) "безопасное" относительное сжатие б и безопасная
продольная сила Q определяются выражениями
[(/C+1)(1+V)-T]6<1, Q - -S|(731 =-----------------(17)
K+i-гт-1 + v
В последней формуле S = S0vl = S0 (1 -f- 26j) - S0 (1 -j- 2v6) =
= S0{1+2v[(/C+1)(1+v)-t]-^},
но внесение такой поправки, по-видимому, лишено практического смысла;
можно принять S^=S0.
Переходник рассмотрению знака квадратичной формы (15.11).,. Вычисление,
проводимое по формулам (2.15) и (13), дает
С(еи е2, е3)=| [/,/* (в)-Ц (F • е)]+| [Щ (F • е) + / (/х_3) 1\ (F • е)] +
+
4
m
Т
/1(F.e)/1(F".e)-f(/1-l)/!(F.e) . (18)
Для большинства материалов
КО, m < 0, и < 0, K = ^L;>0 (o<v<i
и вместе с тем
, /i(F-e) , 2 (F2-e)
v /~г vi ^- 1 v -
/i(e) ^ /](s) •
По (13), (14)
/, - 1 = 2(26j - 6) = -2 (1 - 2v) б < 0, Д - 3 = 2(26, -6) =
= - 2(1- 2v) 6 <0
и, возвращаясь к (18), имеем C"i" = | It (e2) + j (/, - 3) Ц (e)
+
+ f/i2(e)
+ (7з-у4):
= 1 Ы1\ (e) { 1 - j [21 (1 - 2v) - 2m (5 + 4v) - n (1 + 2v)] | . (19)
Оценка (17) безопасного нагружения оказывается приемлемой при продольном
относительном сжатии 6, определяемом неравенством
6<^([2/(l-2v)-2m(5 + 4v)-n(l + 2v)]|. (20)
По данным для сталей (см., например, гл. 5, § 11) t/(1 + v)"1, и для
достаточно длинных стержней при (//>)2"90, /С+1-62
§17] БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 371
поправка в (17) к "инженерной" формуле (7) теряет смысл. По этим же
данным
_A->2-2m(l-2v)8, (21)
чем подтверждается при достаточно малых 6 приемлемость предположения (5).
б) Сжимаемый материал Муни - Ривлина. Удельная потенциальная энергия
деформации в этом материале, называемом еще материалом Адамара, задается
выражением
3 =С,>0, С2>0. (22)
В формуле (6) теперь по (2.21)
. р^гп-чс.+с.у), (23)
По (2.15)
С(ех, е2, е3) - /3 [Isf' (/3)У /!(e) + C,/!(F-e), Ст1а-иЛЬГУ + С^]Ц(в)
(24)
и опенка (23) критического сжимающего напряжения приемлема при условии
Ст!п^г 0:
/3[/зГ(/з)]'>-С2о4, (25)
причем v, i>j определяются из уравнений
^1 = 0, /,fi(/.) + "![Ci + Cs (vf + о2)] = 0,
