Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
и далее
(VW 4- VwT) • • (Vw + Vwг) = 2 [К2 - (е • R)2],
(VwT - Vw) • • (Vw - VwT) = 2 [R2 + 3 (e ¦ R)2] =
= 2[tf2-(e-R)2] + 8(e-R)2.
Задание (3) удовлетворяет также условию _(2); действительно,
VwT - Vw = 2Ехее-R, ~ JJJ (Vwt - Vw)dV =
v
-Exe fff e-RdV^O,
если начало координат поместить в центре тяжести объема. Теперь,
представив неравенство Корна в виде
к Щ (Vw -ь VwT) • • (Vw 4- VwT)
4> j ^ (VwT - Vw) • • (Vw - VwT) dV,
V
приходим к соотношению
4 ^ (e.R)2dV
K>l+TTf - 1 +/4еГ0:,е0- • (4)
Щ Щ (t-R)4V -e-0 e
V V
Здесь 0 -тензор центральных моментов инерции объема относительно
плоскостей координат
в-220ЛЛ. e"_SSSrfdT.
s г v
Отношение квадратичных форм в правой части (4) имеет максимум
одновременно с максимумом формы в числителе. Последний же достигается для
направления е, соответствующего наибольшему собственному значению 03
тензора 0. Итак,
K>'+e^W, (/(0) = 01 + 02 + (c)3). (5)
Знаменатель имеет наибольшее значение при (c)1 = (c)2, так что
и минимум этой величины достигается при 0a = 0j. Итак,
/0 3. (6)
Этим определяется нижняя граница константы Корна.
364
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
Для круглого цилиндра радиуса г и длины I центральные моменты инерции
относительно продольной и поперечной осей равны
¦1г\
12
13г\
так что
12
у)2<3, е,=~/г*, 0! + (c),
и по (6)
т
4
1 I I \2
'+т(т
при
при
lrt+?
>3,
(т)<з-
(7)
Отметим, что для круглого диска (/->0) эта формула дает значение /(>5 и
это по Пейну и Вейнбергеру -наилучшая возможная оценка для плоской
круговой области.
Достоинство задания w в форме (3) состоит еще в том, что входящие в
неравенство (5) величины непосредственно выражены через геометрические
характеристики объема.
Заметим еще, что неравенству Корна (1) можно придать также вид
(* •+ !) S И 71 и dv > S S S К¦'ю+ h И] dv.
(8)
v ¦
§ 15. Неравенства Холдена и Битти
Сложение неравенств (13.13) и (13.14) приводит по (13.9) к неравенству
jjjT--Vw-VwTdK>(cT3-cT) А,
dwi
~дх*
dW2
i /fcSV , dx3 / \ дхг j
. ( da^V / дацУ ¦+' V дх1 ) + V dx3 J _
dV.
(1)
Вместе с тем, использовав (14.8), можно усилить неравенство (13.15),
записав его в виде
(К+1 )S5S/. И dV>A.
(2)
15]
НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ
365
При естественном условии (напомним, что о3 - меньшее из трех главных
напряжений)
ст3 - а < 0 ' (3)
из сопоставления неравенств (1) и (2) следует усиленное неравенство
(Холден)
$$$T-.Vw-VwTdI/>(cT3-cT)(/e+l) SS MeVV
(4)
-'Действительно, здесь правая часть (1) заменена меньшей (при условии
(3)) величиной.
Переходим к оценке]второй'группы слагаемых в формуле (2.18). Имеем
h ((F • е)2) = 2 S <^22 e"et, = Р/, (ё2) ,
s t s t
причем
V2 = Max(t>?, v\, v\). Приходим к неравенству
, дэ
(5)
h (в2) + ? /, ((F • в)2)< ( /3 |f3 + К* 1|) /, (в2). (6)
(7)
Пр и обозначении
С (е1( е2, е3) = 4
S ?
имеем теперь по (2.18), (4), (6)
2Y = Т • • Vw • Vw* - 4 [/, |f- Л (е2) + A ((F • е)2)
4* С (Ej, е2, е3) ^ (/С+1)(ц3 - сг) -
-4УТ(,>й+р|а'
а/.
7i(e2) + C(e1( е8, е3) =
= В/1(е2) + С(81, е" 83). (8)
Через В здесь обозначена постоянная Битти
!*§k+Vi
дэ
дП
B=(^+l)(a,-a)-4|/f
= (/С4 1)(СТ3 -ст); + 2(^ -aF)+4 ]/f^(^-
причем использована формула (2.20) и подстрочный индекс V соответствует
номеру переменной, определяемой условием (5).
(9)
366
МЛЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО тела
1ГЛ. 8
Достаточное условие устойчивости равновесного состояния
Битти заменяет двумя порознь рассматриваемыми условиями
Очевидно, что этим гарантируется выполнение и неравенства (10).
Безопасное нагружение далее определяется условием
а с целью упростить вычисление, связанное с установлением знака
квадратичной формы (7), предлагается ограничиться проверкой ее
положительности при выполнении условия (12) в рассматриваемом материале,
иначе говоря, при принятом задании удельной потенциальной энергии
деформации э(11, /2, /3). Как видно из определений (2.15) коэффициентов
ask формы С (е^ е2, е3), ее знак зависит только от этого задания:
положительный для одного материала, он может оказаться отрицательным для
другого. В последнем случае становится неприемлемой замена одного
неравенства (10) двумя (11).
Замечание. По (2.22), (2.23) квадратичная форма (7) преобразуема к видам
ВД (е2) +C(ej, е", е3) > 0
(10)
В 0, С (ej, е2, е3) > 0.
(11)
В---0,
(12)
з
3 3
(13)
g 151 НЕРАВЕНСТВА ХОЛДЕНА И БИТТИ
это позволяет придать выражению (8) одну из форм
367
2*F = Т- • Vw- Vwr -ф 4 j/
8 дэ
G dl.
Е'^-Д ((F -вГ)
3 3
д2э
\ G E E , 2 J 2 VSVkesek' (15)
S=1 fe=l "- s
2Y = T • • Vw• VwT + 4
S= 1
E ((F-e)2)
д2э
dv^dvk t'-s8'st'*8*;
s=l 5=1 /7=1
(16)
в этих представлениях
-= -2 (vtvlulz + у22с2е23 + vtv\&l,) <0. (17)
3 3 3 3
¦ЧЛ , о ДО 9 9
' " 7,
s = l ' S = 1 s=W = 1
В предположении, что материал удовлетворяет критерию монотонности
(5.10.13), выполняется неравенство
ЕЕ
,s=l к= 1
д-2э
С P8cl//,8i, 0.
(18)
Достаточное условие устойчивости выражается одним из неравенств
____3 3
(/С+1)(о8-а) Д (е2) - 4 |/-f-EE
