Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Рабинович М.И. -> "Введение в теорию колебаний и волн." -> 570

Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.

Рабинович М.И. Введение в теорию колебаний и волн. — НИЦ, 2000. — 564 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuvoln2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 564 565 566 567 568 569 < 570 > 571 572 573 574 575 576 .. 942 >> Следующая

пропорциональное
i
И
da3
2 Е
I
= -j\daS о
1 v
т~Ч8*
I

8'
V -
2
Е1Х
сI Q g=f.
причем, поскольку задание (9) вектора w предполагает изгибание в
плоскости YZ, следует принять /у//х > 1. Соответствующая краевая задача
для консольного стержня
Чп Л1 'Ql ~ = 0, Я(ОНО, g'(l) = 0
, . 1 | а3|
1-1 V ---
^2 Е
г-1
Е1Х
приводит к критической сжимающей силе, превосходящей эйлерово ее значение
Q
Qs
§ 13. Безопасное нагружение. Оценки Холдена
Задача состоит в определении нагружений, гарантирующих положительность
подынтегральной квадратичной формы гЁ, значит и интеграла (10.1) от нее.
По определению (10.5), при этом
§ 13J
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА
359
условии невозможна потеря устойчивости равновесного состояния ^-
конфигурации.
Предполагается, что по всей поверхности тела задано "мертвое" нагружение
и выполнено условие (1.21), иначе говоря, что и после наложения поля
виртуальных перемещений главный момент внешних сил остается равным нулю.
Эта постановка задачи принадлежит Холдену (J. Т. Holden, 1964), она была
развита в публикациях Битти (М. F. Beatty, 1967-1971).
Следуя Холдену, представим вектор w суммой
в которой первое слагаемое подчинено условию равенства нулю среднего по
объему значения его вихря
Слагаемое w" представляет наложение малого жесткого поворота
причем es - триэдр главных осей тензора напряжений, wt - компоненты w в
этом триэдре, ст5 - главные напряжения.
Во всем последующем рассматриваются равновесные ^-конфигурации в
однородном поле напряжений - тензор Т, значит и F постоянны в объеме.
Условию (1.21) придается вид
W = w' фг w",
(1)
или
V
(2)
1 " . dw" dw",
e(w") =^-(Vw' + Vw г) =0 или (3)
z OX1 flyS
дх* dxs
При таком разбиении
s t
360
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
|ГЛ. 8
При as-\-at^0 получаем формулы Холдена 1 as - сг* г f' с dw'
dw"s
дх* V as at 1 J ] дх*
' v
Я1
dV
(s, t= 1,2, 3),
а в случае cr^ -(- crt = 0
(6)
(7)
Следствием равенства (1.21) служит соотношение (T-Vw -Vw*-T)- -Vw"T =
(T • ¦ Vw-Vw"T -
V v"
-T -Vw"T-VwT) dV =-2 fff (T- -Vw'-Vw"T + T- • Vw"-Vw"r)dV^ 0
(8)
Были использованы условия (2) и (3). Обратимся теперь к преобразованию
первого слагаемого квадратичной формы (2.11). Учитывая (8), имеем
-Я С С С Т • • Vw - Vwт dV = y JJJ I • Vw' • Vw'T dV +
V V
+ jjf T--Vw'-Vw"TdV + ^ jT- • Vw" - Vw"TdV =
V V
= Ц jjj T- -Vw'-Vw'TdV + JJj T- -Vw'-Vw"MvV (9)
Далее проводятся оценки этих слагаемых. Обратившись к (6), получаем
' Г dw'
дх*
¦dV
t s v
dw" Г Г Г dw'" . . dw"
К о2) дх1 \ | | дх1 dV + (ст2 Og) 9х2 И [ дх2 dv +
dw'
dw" Г Г Г dw'
+ (о3-1Oi) -^г j J J -д^Г dV =
(CTi - а2)2
(а2_ст3)2
dw'
l^dV
а1 I ст2
2 , (СГ3 Ох)2
fff
dw' \2
k-dV] +
дх2 v
dw' \2
3 dV
(Ю)
O2 + O3 VJJJ дхя J 1 П34-СГ1 VJ J J dx1 /
Через о обозначим неотрицательную величину
- - / (CFl -СГ2>2 (<Т2 (73)2 ((73 СГ|)2 п\ ЛП
§13]
БЕЗОПАСНОЕ НАГРУЖЕНИЕ. ОЦЕНКИ ХОЛДЕНА
361
и воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
С Г Г / дт' \ 2 v _ 1 / Г Г Г dw'
¦ дх*
v
dV
По (10) и (11) приходим к неравенству
+(^1) + (
V
' I dw'
dw'
дх3
/dw'
\ дх1
dl/.
(12)
В ходе вывода, основанного на равенстве (6), можно было бы повсюду
заменить
дх*
I' V
и это позволяет придать неравенству (12) вид
т. .V"'.[(( [(?)• + (?)* +
( dw2 V дх?
/dw^V
V дх2
dw'3
дх1
дtiy' \2
<Эх3
dl/. (13)
Обратимся к оценке первого слагаемого в (9). Пусть а1: ^о2^г(т3, тогда
т. Tw'.Vw"_22>,(&y
S <7
дх**
" 4 !/=1
и по ранее сказанному
(д^У (dw^Y (dw^
\ дх1 J "г" V (Эх2 / ^ \ (Эх3
Уг ст,
(?f)2+(?i-)2+(?iN'2
\ (Эх1 / 1 \ (Эх2 / 1 \ (Эх3
/дау' V llx3
toi V /day' V
+Ы-) +
(Эх1
/(Эю' у у /да,; у
+ V (Эх2 / + V (Эх2 / + \ (Эх3
dl/. (14)
Основываясь на непосредственно выводимом по (1.7.10) тождестве
Vw • • VwT = Ix (е2) + 2(0 • (о,
362
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. Я
имеем
/, (Е2)
00
со = Vw • • VwT- оо-"о
уу 3 / dwq
- е11 + е22 + е33 4" е1'2 4~ е23 4" е31 ¦
dwt
дх3
dw;i \2
ш)
dw2 'дхI
dwj
дх2
д^з
ах2
с?гф_у
дх5 дхЧ
dw2 дх3
и поэтому
/ дК 4 2
\ дх3
ах1
/ dw'
( dw3 N 2
V ах2
/а(r)?\2 V ах;>
<4
(e2) + w-co]d]/. (15)
§ 14. Неравенство Корна
При рассмотрении задачи о существовании решения уравнений линейной теории
упругости Корн (A. Corn, 1908) использовал неравенство
К JJJ/j (е2)с?0 JJJoo-oodK ^oo=-^Vxw, e=4(Vw + Vwt)),
v v

соблюдающееся при равенстве нулю среднего значения вихря вектора
перемещения
JJJ оо dV = 0. (2)
v
Константа Корна К зависит только от геометрии объема V, его поверхность
не обязательно гладкая, может содержать углы и ребра. Точное значение К
известно только для сферы [8.14]. Бернстейн и Тупин [8.13] предложили
нижнюю оценку К, задав вектор w в виде
w = e-RexR, (3)
причем е - постоянный единичный вектор. При этом задании
Vw = еех R - е-RE х е, VwT = exRe-fe-RExe,
Vw - • Vw = VwT- -VwT = (e-R)2Exe - -Exe =-2 (e-R)2,
Vw¦ • VwT = VwT• • Vw = |ex R|2 - (e-R)2Exe - -Exe =
= |exR|2 + 2(e-R)2 = tf2-f (e-R)2
§ 14J НЕРАВЕНСТВО КОРНА 363
Предыдущая << 1 .. 564 565 566 567 568 569 < 570 > 571 572 573 574 575 576 .. 942 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed