Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
выполняются соотношения
Введем отвечающий преобразованию (2.5.4) эволюционный оператор Т, который
переводит любую функцию g в преобразованной точке х (х, е) в
соответствующую функцию / в начальной точке, т. е. равенство
- = [х, w(x, е)],
d 8
(2.5.3)
х = х(х, е)
(2.5.4)
[<7о 7/] = Ь>и Pi] = 0; [<7i> Pi] = 8г/• (2-5-5)
f = Tg
(2.5.6)
означает
f{x)=g[*(x> e)]-
B частности, если g (x) - x, to
x-Tx.
Для явного определения преобразования Т
L = [w, ].
(2.5.7)
Каноническая теория возмуи^ений
149
Из (2.5.3) и (2.5.8) получаем операторное уравнение
- =- TL, (2.5.10)
de
которое допускает формальное решение
т = ехр [-jL(e)de]. (2.5.11)
Для любого канонического преобразования, в том числе и для порождаемого
функцией w, новый гамильтониан Н связан со старым гамильтонианом Я
соотношением
Н(х(х, в)) = Я(д:), (2.5.12)
т. е. новый гамильтониан в новой точке равен старому гамильтониану в
старой точке. В силу (2.5.6) и (2.5.7) получаем
Я = Г_1Я. (2.5.13)
Для неавтономных систем w, L, Т являются явными функциями времени t,
которое считается фиксированным при выводе преобразования Т. По этой
причине все полученные выше соотношения
до (2.5.11) включительно остаются справедливыми. Однако старый
и новый гамильтонианы не совпадают, и равенство (2.5.13) не выполняется.
Правильное соотношение [49]
Н = Т~1Н + 'Г~1^Т{г) d&' (2.5.14)
о
[ср. с (1.2.11в) или (1.2.13в) ] было впервые получено
Дьюаром
[105]. Вместе с выражениями (2.5.9) и (2.5.11) для
операторов L
и Т оно дает полное описание канонических преобразований с помощью
производящих функций Ли.
2.56. Ряды Депри
Разложим w, L, Т, Н и Н по степеням е [102, 49]:
W = 2 е"а>"+1, /1=0 оо (2.5.15)
1= 2 snLn+1, /г =0 оо (2.5.16)
т = 2 епТп, /1=0 со (2.5.17)
я= 2 епЯ", /1=0 (2.5.18)
150
Глава 2
Я=2е\ (2.5.19)
п =0
тде [см. (2.5.9)]
Ln = lwn). (2.5.20)
Подставляя (2.5.16) и (2.5.17) в (2.5.10) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем
рекуррентное соотно-
шение для Т" (пГ>0):
Тп = 1~ПУ fmLn-m, (2.5.21)
п о
А А
которое вместе с условием Т0 = 1 позволяет определить Тп через L" во всех
порядках. Заметим, что в общем случае эти операторы не коммутируют, т. е.
LiLj Ф LjLi и т. д.
Нам потребуются обратные операторы ТТХ, для определения которых
продифференцируем равенство ТТ~г = 1 по переменной е, откуда
= (2.5.22)
de
Последнее уравнение позволяет написать рекуррентное соотношение для Т~1
(п> 0, T~l = 1):
(2.5.23)
" ^=0
В первых трех порядках находим
Ti = -Lu (2.5.24а)
То =-----1- и -L - Ц, (2.5.246)
2 2
П= -yL/,+3-LiL2-4-^i, (2.5.24b)
3 6 3 6
TTl = Lu (2.5.25а)
ГГ1 = -ТL2 -f Л- Li, (2.5.256)
Т3 = - -|-L1L2 + --р-- Li. (2.5.25в)
3 6 з ь
•Основное правило отыскания ТЛ по заданному Г" таково: вместо подставляем
- Ln и изменяем на обратный порядок записи всех произведений
некоммутирующих L-операторов.
Каноническая теория возмущений
151
Чтобы получить уравнения для wn, умножим (2.5.14) на Т слева и
продифференцируем по е
- Н + Т J*L = -**L + f -. (2.5.26)
ds ds ds dt
Исключая dT/de с помощью (2.5.10) и умножая слева на Т-1, находим
= - (2.5.27)
dt ds ds
Используя степенные разложения, в п-м порядке (л Ф 0) имеем
дШп -.пН"- %lLn_mHm-j?1 niT'lmHm. (2.5.28)
^ m=0 m =1
Переписывая первый член первой суммы в виде LnH0 = LnH0 = = [wn, Я,, Т,
приходим к окончательному результату
П- 1
D0wn = п (Нп-Нп) - ? (Ln_mHm + mT~±mHJ, (2.5,29)
m~l
где учтено, что в нулевом порядке Н0 = Н0, и введено обозначение полной
производной по времени вдоль невозмущенных траекторий
?)0 = ^-+[ , Но]. (2.5.30)
dt
Уравнения (2.5.29) до третьего порядка таковы
D0w1 = Я, - Нъ (2.5.31а)
b0w2 = 2[H2-H2)~Ll{Hl + Hl), (2.5.316)
D0w3 = 3 (Я3- Hs) - L, (tf2 + 2Ht) -
-и (2.5.31b)
Уравнение (2.5.31a) следует сравнить с эквивалентным ему уравнением
первого порядка (2.2.10), полученным по методу Пуанкаре- Цейпеля. В обоих
случаях по заданному Нг мы выбираем некоторое Нх обычно так, чтобы
устранить секулярности в производящей функции wx или Sj, а затем
определяем саму производящую функцию. Полученное wx используется в правой
части уравнения
(2.5.316), где #2 выбирается таким образом, чтобы устранить се-кулярность
в !"j и т. д. вплоть до любого желаемого порядка.
Хотя система уравнений вида (2.5.31) формально справедлива при любом
числе степеней свободы, но если их больше одной, то возникают резонансные
знаменатели, так же как и при использовании производящих функций от
смешанного набора переменных.
152
Глава 2
Формальный способ их устранения до любого порядка описан в п. 2.5в.
Маятник. Для иллюстрации применения рядов Депри продолжим рассмотрение
примера в п. 2.2а и получим описание нелинейных колебаний маятника во
втором порядке. Старый гамильтониан
(2.2.22) был записан в переменных действие - угол невозмущенной
(линейной) системы J, 0. В нулевом порядке из (2.2.22а) имеем
Я0(/) = со0/. (2.5.32)
В первом порядке (2.5.31а) дает
со° -^- = Н,-Ни (2.5.33)
где #! определяется выражением (2.2.226)
