Введение в теорию колебаний и волн. - Рабинович М.И.
Скачать (прямая ссылка):
Ляме" Я (и), наряду с выше определенным р (у)
5ф) = н+±у~^ К ' Р+ 9 {dv*)2
дэ
з1' \.дГг'
г дэ
W,;
= Тр -Тр(и)+ о-П
d2a
9 (cfo2)2
Получаем
? = -j X (с) 1\ (е) + р (v) 1Х (е2) .
(10)
(П)
340 МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА [ГЛ. 8
"Приведенный модуль объемного сжатия" представляется формулой
6(у) = Му) +-|р(у)==уp + • (12)
Введя в рассмотрение переменную т = ф/73 = у3, равную отношению объемов
при гидростатическом сжатии и в натуральной отсчетной конфигурации, имеем
по (3)
da йэ 2 дэ d/i дэ dl3 . дэ dl3_
dx dv2 3 V ~d/i dx d/2 dx dl3 dx
Поэтому
й2э 4 v d2s 1 ds_________ 4 у d2a . 1
dx2~'9 T {dv2)2~3xdx~l) ~x (<fo2)2 3xP'
Выражение k (v) приведено к виду
(13)
Представлению удельной потенциальной энергии линейно упругой среды
\ (X + 2 р.) П (е) - 2р/2 (в) = j kl\ (е) + 2р (11\ (г) - /2 (в) j =
= ^kl\ (в) - 2p/2(deve)
соответствует в гидростатически сжатой среде по (11) выражение
? = у k (у) 1\ (в) - 2р (у) /2 (dev г). (14)
Но /2(deve)<0 по (1.9.23) или (1.13.3) и Ч1-> 0 во всяком
случае для у, удовлетворяющих естественному условию
*(у).-=т^>0, g>0, (15)
выражающему, что темп роста э увеличивается вместе с ростом деформации.
Форма Чг по (8), (10), (11) приводится к виду
^ = - j pVw• • Vwr -f pi, (e2) - j pl\ (e)+ y I (y) If (e) + p/t (e2) и
no (2.10)
(c) = ?vw = X(y) I, (e) E + 2p (у)в-p (EV-w - VwT). (16)
§5] НАЛОЖЕНИЕ МАЛОЙ ДЕФОРМАЦИИ 341
Здесь были использованы формулы
/j (e2)vw = 2e = Vw + VwT, If (e)Vw -= E/j (e), (Vw-• VwT)yw = 2Vw.
Уравнения статики в объеме и на поверхности в ^^-конфигурации (1.17) и
(1.9)
V-0-0, N-0== - р N • (ЕV ¦ w - Vwг)
приводятся к виду
V • [X, (у) h (е) Е + 2р (и) е - р (ЕV • w - VwT)] - (X + р) VV • w -f
pV2w,
(17)
N • 0 = N • (Xe/j (e) + 2pe)-pN • (EV ¦ w-VwT) = -pN (EV-w-VwT).
(18)
Учтено, что V-(EV-w - VwT) = 0; приходим к уравнениям равновесия линейной
теории упругости в перемещениях, в которых X, р заменены приведенными
модулями X, р, а вектор перемещения и заменен на w
(X + р) VV ¦ w -f py2w = 0, N • (2EV-W+ 2ре) = 0.
•Массовые и поверхностные силы отсутствуют, и по теореме Кирхгоффа о
единственности состояния равновесия в линейной теории уравнения (17) не
имеют решений для w, отличающихся от жесткого перемещения тела, при
условиях
X + J-p = X>0, р>0,
согласующихся со сказанным выше. При этих условиях нейтральные равновесия
в гидростатически сжатой среде не существуют.
§ 5. Наложение малой деформации на однородное напряженное состояние
В аффинном преобразовании отсчетной неискаженной у-кон-фигурации в
актуальную по (4.15.1), (4.15.2)
R = г- A, F^Ar-A, T=2(det А)-1(ф0Е + ф1Ат-А + ф2(Лт-Л)2)
342
МАЛАЯ ДЕФОРМАЦИЯ НАГРУЖЕННОГО ТЕЛА
[ГЛ. 8
и коэффициенты линейного преобразования над вектором w в формуле (4.4.8)
постоянны,
0^Т-Vw+4 У ?
г
-ф08 (w) + o|)2F.e(w).F-
+Х Z ^wrFr F'v • г (w)
Г=0М = 0
(2)
Ограничимся далее рассмотрением одноосного растяжения стержня гл. 6, § 2.
Ось стержня совмещается с осью OZ, и выражению меры Фингера и ее квадрата
придается вид
F = (Ui + i2i2) сс2у2 + i3i3y2 -¦= EocV + у2 (1 - а2) i3i3,
F2 = Еа4у4-)- у4 (1-а4) i3i3. (3)
Главные напряжения alt о2 равны нулю,
ф0 + а2у2фх + а4у4ф2 = 2у а напряжение a3 представляется выражением
Стз = 2у (^^ + 2а^ + у2а2| представимым по (4) еще в двух видах
^я; + <1+а')^+л'Й=0' (4)
2 (1-а2) [ дэ , " "дэ
сго = з -гг- 4- у2а2 з-р
3 а2с \ а/3 1 д12
dh
(5)
(6)
По (2) тензор 0 оказывается равным 0 = и^з gf-S {а4 + У2 |f3)
8 (W) +
дз
+дГ(1~а*'>
\
(1-а2) 13>зезз +ос2 ^ (i3i^ + i^i3) е
S= 1
+ У* { ^°°Е'V'w + №V 'w + (1 " a') езз] +
+ d22y4F2 [a4V-w + (1 - а4) е33] + {101У2Е [a2V ¦ w + (1 - а2) е33] J-+
d10FV-w + §o2y4E [a4V-w+(l -а4) е33] {>20F2V-w-f
-f- d12y4F [a4V-w-f (1 -a4) e33] + \}2ly2F2 [a2V-w + (1 -a2) e33] J-. 0)
Основываясь на .(c)^-критерии (5.13.11), имеем по (6) a; 1 при сжатии (сг3
< 0) и a < 1 при растяжении (ст3 > 0).
§ g] НАЛОЖЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРУЧЕНИЯ 343
§ 6. Наложение деформации кручения на одноосное напряженное состояние
Вектор перемещения w задается его проекциями
wi = - У У2 у "= У2*, Щ -= уф {х, у) (1)
на главные центральные оси инерции поперечного сечения призматического
стержня в отсчетной у-конфигурации. Эти оси сохраняют свои направления в
^-конфигурации, так как преобразование в нее у-конфигурации
осуществляется преобразованием подобия
х = ava1, у - ava2 (2)
(а1, а2 -координаты в у-, х, у - в ^-конфигурации точки поперечного
сечения.) Площадь поперечного сечения, полярный момент инерции и
жесткость при кручении в ^-конфигурации выражаются через эти величины в
отсчетной конфигурации по формулам
S - a2v2S0, Iр = а*иЧ°р, C-^aiviC°. (3)
Имеют место соотношения
§§xdO = 0, §§ ydO^O, ^xydO = 0, (4)
ООО
выражающие, что OX, 0Y - главные центральные оси.
Только компоненты е23, е31 линейного тензора деформации над w отличны от
нуля и равны
+ e.n = i{°?-y)- (5)
В формулах § 5
^1 ((r)) (r)33 0> (r) (*2*3 ~Ь *3*2) (r)23 (*3*1 Н- *J *з) (r)31
((r))
и после вычисления по (5.7)
